ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 118 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите систему церавенств:

\( \begin{cases} x^2 + x — 6 \leq 0, \\ x > 0; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x^2 + x — 12 \leq 0, \\ 8 + 2x \leq 0; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3x^2 — 8x — 3 > 0, \\ x \leq 10; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x^2 + 6x — 40 < 0, \\ x^2 + 3x — 18 \geq 0; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2x^2 + 13x — 7 \leq 0, \\ 15 — 3x \leq 0; \end{cases} \)

\( \begin{cases} -3x^2 + 16x + 12 < 0, \\ x^2 — 11x < 0. \end{cases} \)

1)
\(\begin{cases}
x^2 + x — 6 \leq 0; \\
x > 0
\end{cases}\)
Первое неравенство:
\(x^2 + x — 6 \leq 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3\) и \(x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2;\)
\((x + 3)(x — 2) \leq 0;\)
\(-3 \leq x \leq 2;\)
Ответ: \(x \in (0; 2].\)

2)
\(\begin{cases}
3x^2 — 8x — 3 > 0; \\
x \leq 10
\end{cases}\)
Первое неравенство:
\(3x^2 — 8x — 3 > 0;\)
\(D = 8^2 + 4 \cdot 3 \cdot 3 = 64 + 36 = 100,\) тогда:
\(x_1 = \frac{8 — 10}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3};\)
\(x_2 = \frac{8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3;\)
\((x + \frac{1}{3})(x — 3) > 0;\)
\(x < -\frac{1}{3}\) или \(x > 3;\)
Ответ: \(x \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (3; 10].\)

3)
\(\begin{cases}
2x^2 + 13x — 7 \leq 0; \\
15 — 3x \leq 0
\end{cases}\)
Первое неравенство:
\(2x^2 + 13x — 7 \leq 0;\)
\(D = 13^2 + 4 \cdot 2 \cdot 7 = 169 + 56 = 225,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-13 — 15}{2 \cdot 2} = \frac{-28}{4} = -7;\)
\(x_2 = \frac{-13 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5;\)
\((x + 7)(x — 0.5) \leq 0;\)
\(-7 \leq x \leq 0.5;\)
Второе неравенство:
\(15 — 3x \leq 0;\)
\(5 — x \leq 0;\)
\(x \geq 5;\)
Ответ: \(x \in \emptyset.\)

4)
\(\begin{cases}
x^2 + x — 12 \leq 0; \\
8 + 2x \leq 0
\end{cases}\)
Первое неравенство:
\(x^2 + x — 12 \leq 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4\) и \(x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3;\)
\((x + 4)(x — 3) \leq 0;\)
\(-4 \leq x \leq 3;\)
Второе неравенство:
\(8 + 2x \leq 0;\)
\(4 + x \leq 0;\)
\(x \leq -4;\)
Ответ: \(x \in \{-4\}.\)

5)
\(\begin{cases}
x^2 + 6x — 40 < 0; \\
x^2 + 3x — 18 \geq 0
\end{cases}\)
Первое неравенство:
\(x^2 + 6x — 40 < 0;\)
\(D = 6^2 + 4 \cdot 40 = 36 + 160 = 196,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-6 — 14}{2} = -10\) и \(x_2 = \frac{-6 + 14}{2} = 4;\)
\((x + 10)(x — 4) < 0;\)
\(-10 < x < 4;\)
Второе неравенство:
\(x^2 + 3x — 18 \geq 0;\)
\(D = 3^2 + 4 \cdot 18 = 9 + 72 = 81,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-3 — 9}{2} = -6\) и \(x_2 = \frac{-3 + 9}{2} = 3;\)
\((x + 6)(x — 3) \geq 0;\)
\(x \leq -6\) или \(x \geq 3;\)
Ответ: \(x \in (-10; -6] \cup [3; 4).\)

6)
\(\begin{cases}
-3x^2 + 16x + 12 < 0; \\
x^2 — 11x < 0
\end{cases}\)
Первое неравенство:
\(-3x^2 + 16x + 12 < 0;\) \(3x^2 — 16x — 12 > 0;\)
\(D = 16^2 + 4 \cdot 3 \cdot 12 = 256 + 144 = 400,\) тогда:
\(x_1 = \frac{16 — 20}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3};\)
\(x_2 = \frac{16 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6;\)
\((x + \frac{2}{3})(x — 6) > 0;\)
\(x < -\frac{2}{3}\) или \(x > 6;\)
Второе неравенство:
\(x^2 — 11x < 0;\)
\(x(x — 11) \leq 0;\)
\(0 < x < 11;\)
Ответ: \(x \in (6; 11).\)

1)
Рассмотрим систему неравенств:
\(\begin{cases}
x^2 + x — 6 \leq 0; \\
x > 0
\end{cases}\)

Первое неравенство представляет собой квадратное неравенство с коэффициентами \(a=1\), \(b=1\), \(c=-6\). Чтобы решить его, сначала вычислим дискриминант по формуле
\(D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25.\)
Дискриминант положительный, значит у уравнения есть два действительных корня:
\(x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 — 5}{2} = -3,\)
\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2} = 2.\)
Так как коэффициент при \(x^2\) положителен, парабола направлена вверх, следовательно, неравенство \(x^2 + x — 6 \leq 0\) выполняется между корнями, то есть при \(-3 \leq x \leq 2.\)

Второе неравенство требует, чтобы \(x > 0.\) Пересечение двух множеств решений даёт итоговый ответ:
\(x \in (0; 2].\) Это означает, что все значения \(x\) строго больше 0 и не превышают 2, удовлетворяют системе. Такой подход позволяет учесть оба условия одновременно, что важно для точного решения.

2)
Дана система:
\(\begin{cases}
3x^2 — 8x — 3 > 0; \\
x \leq 10
\end{cases}\)

Рассмотрим первое неравенство. Вычислим дискриминант:
\(D = (-8)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100.\)
Корни уравнения:
\(x_1 = \frac{8 — 10}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3},\)
\(x_2 = \frac{8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3.\)
Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, следовательно, неравенство \(3x^2 — 8x — 3 > 0\) истинно вне интервала между корнями:
\(x < -\frac{1}{3}\) или \(x > 3.\)

Второе неравенство ограничивает \(x\) сверху: \(x \leq 10.\) Пересечение с первым условием даёт множество:
\(x \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (3; 10].\)
Таким образом, решения системы — это все \(x\), которые либо меньше \(-\frac{1}{3}\), либо больше 3, но не превышают 10. Это объединение двух интервалов с учётом верхней границы.

3)
Рассмотрим систему:
\(\begin{cases}
2x^2 + 13x — 7 \leq 0; \\
15 — 3x \leq 0
\end{cases}\)

Для первого неравенства вычислим дискриминант:
\(D = 13^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225.\)
Корни уравнения:
\(x_1 = \frac{-13 — 15}{2 \cdot 2} = \frac{-28}{4} = -7,\)
\(x_2 = \frac{-13 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5.\)
Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, неравенство \(2x^2 + 13x — 7 \leq 0\) верно для \(x\) между корнями:
\(-7 \leq x \leq 0.5.\)

Второе неравенство преобразуем:
\(15 — 3x \leq 0 \Rightarrow 5 — x \leq 0 \Rightarrow x \geq 5.\)
Пересечение множеств решений первого и второго неравенств пусто, так как нет чисел, одновременно принадлежащих интервалу \([-7; 0.5]\) и удовлетворяющих \(x \geq 5.\) Следовательно, ответ:
\(x \in \emptyset.\)
Это означает, что система не имеет решений, и никакое значение \(x\) не удовлетворяет обоим условиям одновременно.
4)
Рассмотрим систему неравенств:
\(\begin{cases}
x^2 + x — 12 \leq 0; \\
8 + 2x \leq 0
\end{cases}\)

Первое неравенство — квадратное с коэффициентами \(a=1\), \(b=1\), \(c=-12\). Для решения вычислим дискриминант:
\(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49.\)
Корни уравнения:
\(x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4,\)
\(x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3.\)
Поскольку \(a > 0\), парабола направлена вверх, и неравенство \(x^2 + x — 12 \leq 0\) выполняется на интервале между корнями:
\(-4 \leq x \leq 3.\)

Второе неравенство можно переписать как:
\(8 + 2x \leq 0 \Rightarrow 2x \leq -8 \Rightarrow x \leq -4.\)
Пересечение двух интервалов — это значения \(x\), которые одновременно принадлежат \([-4; 3]\) и удовлетворяют \(x \leq -4.\) Таким образом, пересечение — единственная точка \(x = -4.\)
Ответ:
\(x \in \{-4\}.\)

Это означает, что единственное значение, удовлетворяющее обоим условиям, — это точка \(-4.\) Такое решение часто встречается, когда пересечение интервалов сводится к одной точке.

5)
Рассмотрим систему:
\(\begin{cases}
x^2 + 6x — 40 < 0; \\ x^2 + 3x — 18 \geq 0 \end{cases}\) Для первого неравенства вычислим дискриминант: \(D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 36 + 160 = 196.\) Корни: \(x_1 = \frac{-6 — 14}{2} = -10,\) \(x_2 = \frac{-6 + 14}{2} = 4.\) Так как \(a=1 > 0\), парабола направлена вверх, и неравенство \(x^2 + 6x — 40 < 0\) истинно между корнями:
\(-10 < x < 4.\)

Для второго неравенства:
\(D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81.\)
Корни:
\(x_1 = \frac{-3 — 9}{2} = -6,\)
\(x_2 = \frac{-3 + 9}{2} = 3.\)
Парабола направлена вверх, значит неравенство \(x^2 + 3x — 18 \geq 0\) выполняется вне интервала между корнями:
\(x \leq -6\) или \(x \geq 3.\)

Пересечение двух множеств решений — это те значения \(x\), которые одновременно принадлежат интервалу \((-10; 4)\) и удовлетворяют \(x \leq -6\) или \(x \geq 3.\) Это даёт объединение двух интервалов:
\((-10; -6]\) и \([3; 4).\)
Ответ:
\(x \in (-10; -6] \cup [3; 4).\)
6)
Рассмотрим систему неравенств:
\(\begin{cases}
-3x^2 + 16x + 12 < 0; \\
x^2 — 11x < 0
\end{cases}\)

Первое неравенство перепишем, умножив обе части на \(-1\) и изменив знак неравенства:
\(-3x^2 + 16x + 12 < 0 \iff 3x^2 — 16x — 12 > 0.\)
Теперь вычислим дискриминант для уравнения \(3x^2 — 16x — 12 = 0\):
\(D = (-16)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 256 + 144 = 400.\)
Корни:
\(x_1 = \frac{16 — 20}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3},\)
\(x_2 = \frac{16 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6.\)
Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, и неравенство \(3x^2 — 16x — 12 > 0\) верно вне интервала между корнями:
\(x < -\frac{2}{3}\) или \(x > 6.\)

Второе неравенство:
\(x^2 — 11x < 0.\)
Вынесем \(x\) за скобки:
\(x(x — 11) < 0.\)
Такое произведение меньше нуля, если один из множителей положителен, а другой отрицателен. Значит, \(x\) лежит между корнями:
\(0 < x < 11.\)

Пересечение двух множеств решений — это значения \(x\), которые удовлетворяют обоим условиям одновременно. Из первого неравенства это либо \(x < -\frac{2}{3}\), либо \(x > 6\), из второго — \(0 < x < 11.\) Пересечение даёт только интервал:
\(x \in (6; 11).\)

Ответ:
\(x \in (6; 11).\)

Это означает, что решения системы — все \(x\), которые строго больше 6 и меньше 11. Значения меньше \(-\frac{2}{3}\) не подходят, так как не удовлетворяют второму неравенству. Такой анализ позволяет точно определить пересечение решений двух сложных неравенств.