ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 118 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите систему церавенств:

\( \begin{cases} x^2 + x — 6 \leq 0, \\ x > 0; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x^2 + x — 12 \leq 0, \\ 8 + 2x \leq 0; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3x^2 — 8x — 3 > 0, \\ x \leq 10; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x^2 + 6x — 40 < 0, \\ x^2 + 3x — 18 \geq 0; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2x^2 + 13x — 7 \leq 0, \\ 15 — 3x \leq 0; \end{cases} \)

\( \begin{cases} -3x^2 + 16x + 12 < 0, \\ x^2 — 11x < 0. \end{cases} \)

1) \( \begin{cases} x^2 + x — 6 \leq 0 \\ x > 0 \end{cases} \)
Корни: \(x^2 + x — 6 = (x+3)(x-2)\), неравенство верно при \( -3 \leq x \leq 2 \). С учетом \(x > 0\), получаем \(0 < x \leq 2\).

2) \( \begin{cases} x^2 + x — 12 \leq 0 \\ 8 + 2x \leq 0 \end{cases} \)
Корни: \(x^2 + x — 12 = (x+4)(x-3)\), неравенство верно при \(-4 \leq x \leq 3\).
Второе: \(2x \leq -8 \Rightarrow x \leq -4\).
Пересечение: \(x = -4\).

3) \( \begin{cases} 3x^2 — 8x — 3 > 0 \\ x \leq 10 \end{cases} \)
Корни: \(3x^2 — 8x — 3 = 0\), дискриминант \(64 + 36 = 100\), корни \(x = \frac{8 \pm 10}{6}\), т.е. \(x_1 = -\frac{1}{3}\), \(x_2 = 3\).
Неравенство \(>0\) верно вне корней: \(x < -\frac{1}{3}\) или \(x > 3\).
С учетом \(x \leq 10\), решение: \(x < -\frac{1}{3}\) или \(3 < x \leq 10\).

4) \( \begin{cases} x^2 + 6x — 40 < 0 \\ x^2 + 3x — 18 \geq 0 \end{cases} \)
Первое: корни \(x^2 + 6x — 40 = (x+10)(x-4)\), неравенство верно при \(-10 < x < 4\).
Второе: корни \(x^2 + 3x — 18 = (x+6)(x-3)\), неравенство верно при \(x \leq -6\) или \(x \geq 3\).
Пересечение: \(-10 < x \leq -6\) и \(3 \leq x < 4\).

5) \( \begin{cases} 2x^2 + 13x — 7 \leq 0 \\ 15 — 3x \leq 0 \end{cases} \)
Корни: \(2x^2 + 13x — 7 = 0\), дискриминант \(169 + 56 = 225\), корни \(x = \frac{-13 \pm 15}{4}\), т.е. \(x_1 = -7\), \(x_2 = \frac{1}{2}\).
Неравенство верно при \(-7 \leq x \leq \frac{1}{2}\).
Второе: \(15 \leq 3x \Rightarrow x \geq 5\).
Пересечение: \(\emptyset\).

6) \( \begin{cases} -3x^2 + 16x + 12 < 0 \\ x^2 — 11x < 0 \end{cases} \)
Первое: \( -3x^2 + 16x + 12 < 0 \Rightarrow 3x^2 — 16x — 12 > 0\).
Корни: дискриминант \(256 + 144 = 400\), корни \(x = \frac{16 \pm 20}{6}\), т.е. \(x_1 = -\frac{2}{3}\), \(x_2 = 6\).
Неравенство верно при \(x < -\frac{2}{3}\) или \(x > 6\).
Второе: \(x(x — 11) < 0\), т.е. \(0 < x < 11\).
Пересечение: \(6 < x < 11\).

Ответ:
1) \(0 < x \leq 2\)
2) \(x = -4\)
3) \(x < -\frac{1}{3}\) или \(3 < x \leq 10\)
4) \(-10 < x \leq -6\) и \(3 \leq x < 4\)
5) \(\emptyset\)
6) \(6 < x < 11\)

1) Рассмотрим систему \( \begin{cases} x^2 + x — 6 \leq 0 \\ x > 0 \end{cases} \). Найдём корни квадратного трёхчлена: \(x^2 + x — 6 = (x+3)(x-2)\). Неравенство \(x^2 + x — 6 \leq 0\) верно при \( -3 \leq x \leq 2 \). С учётом условия \(x > 0\), решение системы: \(0 < x \leq 2\).

2) Для системы \( \begin{cases} x^2 + x — 12 \leq 0 \\ 8 + 2x \leq 0 \end{cases} \) найдём корни первого неравенства: \(x^2 + x — 12 = (x+4)(x-3)\). Неравенство верно при \(-4 \leq x \leq 3\). Второе неравенство \(8 + 2x \leq 0\) преобразуется к \(x \leq -4\). Пересечение множеств: \(x = -4\).

3) Рассмотрим систему \( \begin{cases} 3x^2 — 8x — 3 > 0 \\ x \leq 10 \end{cases} \). Найдём корни уравнения \(3x^2 — 8x — 3 = 0\). Дискриминант \(D = (-8)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100\). Корни: \(x_1 = \frac{8 — 10}{6} = -\frac{1}{3}\), \(x_2 = \frac{8 + 10}{6} = 3\). Неравенство \(3x^2 — 8x — 3 > 0\) верно при \(x < -\frac{1}{3}\) или \(x > 3\). С учётом \(x \leq 10\), решение: \(x < -\frac{1}{3}\) или \(3 < x \leq 10\).

4) Для системы \( \begin{cases} x^2 + 6x — 40 < 0 \\ x^2 + 3x — 18 \geq 0 \end{cases} \) найдём корни первого неравенства: \(x^2 + 6x — 40 = (x+10)(x-4)\). Неравенство верно при \(-10 < x < 4\). Корни второго: \(x^2 + 3x — 18 = (x+6)(x-3)\). Неравенство верно при \(x \leq -6\) или \(x \geq 3\). Пересечения: \(-10 < x \leq -6\) и \(3 \leq x < 4\).

5) Рассмотрим систему \( \begin{cases} 2x^2 + 13x — 7 \leq 0 \\ 15 — 3x \leq 0 \end{cases} \). Найдём корни первого неравенства: дискриминант \(D = 13^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225\). Корни: \(x_1 = \frac{-13 — 15}{4} = -7\), \(x_2 = \frac{-13 + 15}{4} = \frac{1}{2}\). Неравенство верно при \(-7 \leq x \leq \frac{1}{2}\). Второе неравенство: \(15 — 3x \leq 0 \Rightarrow x \geq 5\). Пересечение: \(\emptyset\).

6) Для системы \( \begin{cases} -3x^2 + 16x + 12 < 0 \\ x^2 — 11x < 0 \end{cases} \) преобразуем первое неравенство: \(-3x^2 + 16x + 12 < 0 \Leftrightarrow 3x^2 — 16x — 12 > 0\). Дискриминант: \(D = (-16)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 256 + 144 = 400\). Корни: \(x_1 = \frac{16 — 20}{6} = -\frac{2}{3}\), \(x_2 = \frac{16 + 20}{6} = 6\). Неравенство верно при \(x < -\frac{2}{3}\) или \(x > 6\). Второе неравенство: \(x^2 — 11x < 0 \Rightarrow x(x — 11) < 0\), что даёт \(0 < x < 11\). Пересечение: \(6 < x < 11\).