ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 119 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите целые решения системы неравенств:

1) \(x > 0\);

\( \begin{cases} 3x^2 — 8x — 3 > 0, \\ x \leq 10; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x^2 + 5x — 6 < 0, \\ x \geq -8; \end{cases} \)

\( (x + 8)^2 — 16 \geq (1 — 2x)^2 \);

1)
\(x > 0\) и \(3x^2 — 8x — 3 > 0\), корни уравнения \(3x^2 — 8x — 3 = 0\) равны \(x_1 = -\frac{1}{3}\), \(x_2 = 3\), знак > вне корней, значит \(x < -\frac{1}{3}\) или \(x > 3\). С учётом \(x > 0\) получаем \(x > 3\).
Также \(x \leq 10\), значит \(3 < x \leq 10\). Целые решения: \(4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\). 2) \(x^2 + 5x - 6 < 0\), корни \(x_1 = -6\), \(x_2 = 1\), знак < между корнями, значит \(-6 < x < 1\). Также \(x \geq -8\), значит \(-6 < x < 1\). Целые решения: \(-5, -4, -3, -2, -1, 0\). 3) \((x+8)^2 - 16 \geq (1 - 2x)^2\) Раскроем скобки: \(x^2 + 16x + 64 - 16 \geq 1 - 4x + 4x^2\) \(x^2 + 16x + 48 \geq 1 - 4x + 4x^2\) Переносим всё в одну сторону: \(x^2 + 16x + 48 - 1 + 4x - 4x^2 \geq 0\) \(-3x^2 + 20x + 47 \geq 0\) Умножим на \(-1\) (знак неравенства изменится): \(3x^2 - 20x - 47 \leq 0\) Дискриминант: \(D = (-20)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-47) = 400 + 564 = 964\) Корни: \(x = \frac{20 \pm \sqrt{964}}{6}\), приближённо \(x_1 \approx -1.1\), \(x_2 \approx 14.3\) Парабола вверх, знак \(\leq 0\) между корнями: \(-1.1 \leq x \leq 14.3\). Объединяем с условиями из 1) и 2), учитывая \(x > 0\):
Из 1) \(3 < x \leq 10\), из 3) \(-1.1 \leq x \leq 14.3\), пересечение: \(3 < x \leq 10\). Ответ: \(4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\).

1)
Рассмотрим систему:
\(x > 0\) и
\(\begin{cases} 3x^2 — 8x — 3 > 0, \\ x \leq 10. \end{cases}\)

Решаем неравенство \(3x^2 — 8x — 3 > 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (-8)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100\).
Корни квадратного уравнения:
\(x_1 = \frac{8 — 10}{6} = -\frac{1}{3}\),
\(x_2 = \frac{8 + 10}{6} = 3\).
Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, и неравенство \(3x^2 — 8x — 3 > 0\) выполняется при \(x < -\frac{1}{3}\) или \(x > 3\).

С учетом условия \(x > 0\) и \(x \leq 10\) область решения сужается до \(3 < x \leq 10\). Целые решения: \(4; 5; 6; 7; 8; 9; 10\). 2) Рассмотрим систему: \(\begin{cases} x^2 + 5x - 6 < 0, \\ x \geq -8. \end{cases}\) Решаем неравенство \(x^2 + 5x - 6 < 0\). Вычислим дискриминант: \(D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49\). Корни уравнения: \(x_1 = \frac{-5 - 7}{2} = -6\), \(x_2 = \frac{-5 + 7}{2} = 1\). Парабола направлена вверх, значит неравенство \(x^2 + 5x - 6 < 0\) выполняется при \(-6 < x < 1\). С учетом \(x \geq -8\) область решения не меняется, так как \(-6 > -8\).
Целые решения: \(-5; -4; -3; -2; -1; 0\).

3)
Рассмотрим неравенство:
\((x + 8)^2 — 16 \geq (1 — 2x)^2\).

Раскроем скобки:
\(x^2 + 16x + 64 — 16 \geq 1 — 4x + 4x^2\),
\(x^2 + 16x + 48 \geq 1 — 4x + 4x^2\).

Перенесем все в одну сторону:
\(x^2 + 16x + 48 — 1 + 4x — 4x^2 \geq 0\),
\(-3x^2 + 20x + 47 \geq 0\),
или
\(3x^2 — 20x — 47 \leq 0\).

Вычислим дискриминант:
\(D = (-20)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-47) = 400 + 564 = 964\).
Корни:
\(x_1 = \frac{20 — \sqrt{964}}{6} \approx -1.27\),
\(x_2 = \frac{20 + \sqrt{964}}{6} \approx 12.37\).

Парабола направлена вверх, значит неравенство выполняется при \(x_1 \leq x \leq x_2\).
Целые решения: \(-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12\).