ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 120 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите, при каких значениях \(a\) не имеет корней уравнение:
1) \(x^2 + (a + 2)x + 4 = 0\);
2) \((a + 1)x^2 — 3ax + 4a = 0\);
3) \((10 — 2a)x^2 — (a — 5)x + 1 = 0\);
4) \((a + 1)x^2 — 2(a — 1)x + 3a — 3 = 0\).

1) Уравнение \(x^2 + (a + 2)x + 4 = 0\).
Дискриминант \(D = (a + 2)^2 — 4 \cdot 4 = a^2 + 4a — 12\).
Решаем \(a^2 + 4a — 12 < 0\). Факторы: \((a + 6)(a - 2) < 0\). Ответ: \(a \in (-6; 2)\). 2) Уравнение \((a + 1)x^2 - 3ax + 4a = 0\). Дискриминант \(D = 9a^2 - 4(a + 1)4a = -7a^2 - 16a\). Решаем \(-7a^2 - 16a < 0\), или \(7a^2 + 16a > 0\).
Факторы: \(a(7a + 16) > 0\).
Ответ: \(a \in (-\infty; -\frac{16}{7}) \cup (0; +\infty)\).

3) Уравнение \((10 — 2a)x^2 — (a — 5)x + 1 = 0\).
Дискриминант \(D = (a — 5)^2 — 4(10 — 2a) = a^2 — 2a — 15\).
Решаем \(a^2 — 2a — 15 < 0\). Факторы: \((a - 5)(a + 3) < 0\). Ответ: \(a \in (-3; 5)\). 4) Уравнение \((a + 1)x^2 - 2(a - 1)x + 3a - 3 = 0\). Дискриминант \(D = 4(a - 1)^2 - 4(a + 1)(3a - 3) = -8a^2 - 8a + 16\). Решаем \(-8a^2 - 8a + 16 < 0\), или \(a^2 + a - 2 > 0\).
Факторы: \((a + 2)(a — 1) > 0\).
Ответ: \(a \in (-\infty; -2) \cup (1; +\infty)\).

1) Уравнение: \(x^2 + (a + 2)x + 4 = 0\).
Дискриминант: \(D = (a + 2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = a^2 + 4a + 4 — 16 = a^2 + 4a — 12\).
Уравнение не имеет корней, если \(D < 0\), то есть \(a^2 + 4a - 12 < 0\). Решим неравенство: \(a^2 + 4a - 12 = (a + 6)(a - 2) < 0\). Корни: \(a_1 = -6\), \(a_2 = 2\). Значит, \(a \in (-6; 2)\). 2) Уравнение: \((a + 1)x^2 - 3ax + 4a = 0\). Дискриминант: \(D = (-3a)^2 - 4(a + 1)(4a) = 9a^2 - 16a^2 - 16a = -7a^2 - 16a\). Уравнение не имеет корней, если \(D < 0\), значит: \(-7a^2 - 16a < 0\). Умножим на \(-1\) и поменяем знак: \(7a^2 + 16a > 0\).
Вынесем \(a\):
\(a(7a + 16) > 0\).
Решаем знак произведения:
\(a < -\frac{16}{7}\) или \(a > 0\).
Уравнение становится линейным, если \(a + 1 = 0\), то есть \(a = -1\).
Ответ: \(a \in (-\infty; -\frac{16}{7}) \cup (0; +\infty)\).

3) Уравнение: \((10 — 2a)x^2 — (a — 5)x + 1 = 0\).
Дискриминант:
\(D = (a — 5)^2 — 4(10 — 2a) \cdot 1 = a^2 — 10a + 25 — 40 + 8a = a^2 — 2a — 15\).
Уравнение не имеет корней, если \(D < 0\), значит: \(a^2 - 2a - 15 < 0\). Решим неравенство: \((a - 5)(a + 3) < 0\). Корни: \(a_1 = -3\), \(a_2 = 5\). Значит, \(a \in (-3; 5)\). Уравнение становится линейным, если \(10 - 2a = 0\), то есть \(a = 5\). 4) Уравнение: \((a + 1)x^2 - 2(a - 1)x + 3a - 3 = 0\). Дискриминант: \(D = (-2(a - 1))^2 - 4(a + 1)(3a - 3) = 4(a - 1)^2 - 4(a + 1)(3a - 3)\). Раскроем скобки: \(4(a^2 - 2a + 1) - 4(3a^2 - 3a + 3a - 3) = 4a^2 - 8a + 4 - 12a^2 + 12 =\) \(= -8a^2 - 8a + 16\). Уравнение не имеет корней, если \(D < 0\), значит: \(-8a^2 - 8a + 16 < 0\). Разделим на \(-8\) и поменяем знак: \(a^2 + a - 2 > 0\).
Решим неравенство:
\((a + 2)(a — 1) > 0\).
Корни: \(-2\), \(1\).
Значит, \(a < -2\) или \(a > 1\).
Уравнение становится линейным, если \(a + 1 = 0\), то есть \(a = -1\).
Ответ: \(a \in (-\infty; -2) \cup (1; +\infty)\).