ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 121 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(b\) имеет два различных действительных корня уравнение:

1) \(x^2 — 4bx + 3b + 1 = 0\);

2) \(hx^2 — (8b + 1)x + b = 0\);

3) \((6 — 1)x^2 — 2(b + 1)x — 86 + 2 = 0\);

4) \((36 — 2)x^2 — (5b + 2)x + 5b — 1 = 0\)?

1) Уравнение \(x^2 — 4bx + 3b + 1 = 0\) имеет два различных корня, если дискриминант \(D > 0\):
\(D = (4b)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (3b + 1) = 16b^2 — 12b — 4 > 0\).
Решая неравенство, получаем:
\((b + \frac{1}{4})(b — 1) > 0\), значит
\(b \in (-\infty; -\frac{1}{4}) \cup (1; +\infty)\).

2) Уравнение \(bx^2 — (3b + 1)x + b = 0\) имеет два различных корня, если \(D > 0\):
\(D = (3b + 1)^2 — 4b^2 = 9b^2 + 6b + 1 — 4b^2 = 5b^2 + 6b + 1 > 0\).
Решая неравенство, получаем:
\((b + 1)(b + \frac{1}{5}) > 0\), значит
\(b \in (-\infty; -1) \cup (-\frac{1}{5}; +\infty)\), при этом \(b \neq 0\) (иначе уравнение не квадратное).

3) Уравнение \((b — 1)x^2 — 2(b + 1)x — 3b + 2 = 0\) имеет два различных корня, если \(D > 0\):
\(D = 4(b + 1)^2 — 4(b — 1)(-3b + 2) = 16b^2 — 12b + 12 > 0\).
Это выражение всегда положительно для всех \(b\), кроме \(b = 1\), при котором уравнение становится линейным.
Ответ: \(b \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\).

4) Уравнение \((3b — 2)x^2 — (5b + 2)x + 5b — 1 = 0\) имеет два различных корня, если \(D > 0\):
\(D = (5b + 2)^2 — 4(3b — 2)(5b — 1) = -35b^2 + 72b — 4 > 0\).
Решая неравенство, получаем:
\(35b^2 — 72b + 4 < 0\),
корни: \(b_1 = \frac{2}{35}, b_2 = 2\),
значит \(b \in (\frac{2}{35}; 2)\), при этом \(b \neq \frac{2}{3}\) (чтобы уравнение оставалось квадратным).

Ответы:
1) \(b \in (-\infty; -\frac{1}{4}) \cup (1; +\infty)\)
2) \(b \in (-\infty; -1) \cup (-\frac{1}{5}; 0) \cup (0; +\infty)\)
3) \(b \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\)
4) \(b \in (\frac{2}{35}; \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}; 2)\)

1) Уравнение \(x^2 — 4bx + 3b + 1 = 0\).
Дискриминант: \(D = (4b)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (3b + 1) = 16b^2 — 12b — 4\).
Уравнение имеет два различных корня, если \(D > 0\):
\(16b^2 — 12b — 4 > 0\).
Разделим на 4:
\(4b^2 — 3b — 1 > 0\).
Найдем корни квадратного трехчлена:
\(D_1 = (-3)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25\),
\(b_1 = \frac{3 — 5}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}\),
\(b_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1\).
Неравенство \(4b^2 — 3b — 1 > 0\) истинно при
\(b < -\frac{1}{4}\) или \(b > 1\).
Ответ: \(b \in (-\infty; -\frac{1}{4}) \cup (1; +\infty)\).

2) Уравнение \(bx^2 — (3b + 1)x + b = 0\).
Дискриминант:
\(D = (3b + 1)^2 — 4 \cdot b \cdot b = 9b^2 + 6b + 1 — 4b^2 = 5b^2 + 6b + 1\).
Уравнение имеет два различных корня, если \(D > 0\):
\(5b^2 + 6b + 1 > 0\).
Найдем корни квадратного трехчлена:
\(D_2 = 6^2 — 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 — 20 = 16\),
\(b_1 = \frac{-6 — 4}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1\),
\(b_2 = \frac{-6 + 4}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}\).
Неравенство \(5b^2 + 6b + 1 > 0\) истинно при
\(b < -1\) или \(b > -\frac{1}{5}\).
Уравнение становится линейным при \(b = 0\), исключаем это значение.
Ответ: \(b \in (-\infty; -1) \cup (-\frac{1}{5}; 0) \cup (0; +\infty)\).

3) Уравнение \((b — 1)x^2 — 2(b + 1)x — 3b + 2 = 0\).
Дискриминант:
\(D = (-2(b + 1))^2 — 4 \cdot (b — 1) \cdot (-3b + 2) = 4(b + 1)^2 + 4(b — 1)(3b — 2)\).
Раскроем скобки:
\(D = 4(b^2 + 2b + 1) + 4(3b^2 — 3b — 2b + 2) = 4b^2 + 8b + 4 + 12b^2 — 20b + 8\).
Сложим:
\(D = 16b^2 — 12b + 12\).
Уравнение имеет два различных корня, если \(D > 0\):
\(16b^2 — 12b + 12 > 0\).
Дискриминант этого выражения:
\(D_3 = (-12)^2 — 4 \cdot 16 \cdot 12 = 144 — 768 = -624 < 0\),
значит \(D > 0\) при всех \(b\).
Уравнение становится линейным, если \(b — 1 = 0\), то есть \(b = 1\).
Ответ: \(b \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\).

4) Уравнение \((3b — 2)x^2 — (5b + 2)x + 5b — 1 = 0\).
Дискриминант:
\(D = (5b + 2)^2 — 4 \cdot (3b — 2) \cdot (5b — 1) = 25b^2 + 20b + 4 -\)
\( -4(15b^2 — 3b — 10b + 2)\).
Раскроем скобки:
\(D = 25b^2 + 20b + 4 — 60b^2 + 12b + 40b — 8 = -35b^2 + 72b — 4\).
Уравнение имеет два различных корня, если \(D > 0\):
\(-35b^2 + 72b — 4 > 0\),
что эквивалентно
\(35b^2 — 72b + 4 < 0\).
Найдем корни квадратного трехчлена:
\(D_4 = 72^2 — 4 \cdot 35 \cdot 4 = 5184 — 560 = 4624\),
\(b_1 = \frac{72 — 68}{2 \cdot 35} = \frac{4}{70} = \frac{2}{35}\),
\(b_2 = \frac{72 + 68}{2 \cdot 35} = \frac{140}{70} = 2\).
Неравенство \(35b^2 — 72b + 4 < 0\) истинно при
\(\frac{2}{35} < b < 2\).
Уравнение становится линейным, если \(3b — 2 = 0\), то есть \(b = \frac{2}{3}\), исключаем это значение.
Ответ: \(b \in \left(\frac{2}{35}; \frac{2}{3}\right) \cup \left(\frac{2}{3}; 2\right)\).