ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 122 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите значения \(a\), при которых выполняется при всех действительных значениях \(x\) неравенство:

1) \(x^2 + 2(a — 1)x + 4 — a — a^2 > 0\);

2) \(-\frac{1}{2}x^2 + 3ax — 6a^2 — 12 \leq 0\);

3) \(ax^2 — 4x + a + 3 < 0\);

4) \((9 — a^2)x^2 + 2(a + 3)x + 1 \geq 0\).

1) Для неравенства \(x^2 + 2(a — 1)x + 4 — a — a^2 > 0\) найдем дискриминант:
\(D = 4(a — 1)^2 — 4(4 — a — a^2) = 8a^2 — 4a — 12\).
Решаем \(D < 0\):
\(2a^2 — a — 3 < 0\), корни \(a = -1\) и \(a = 1.5\).
Значит \(a \in (-1; 1.5)\).

2) Для неравенства \(-\frac{1}{2}x^2 + 3ax — 6a^2 — 12 \leq 0\) дискриминант:
\(D = 9a^2 — 2(6a^2 + 12) = -3a^2 — 24\).
Решаем \(D \leq 0\), получаем \(-4 \leq a \leq 4\).

3) Для неравенства \(ax^2 — 4x + a + 3 < 0\) дискриминант:
\(D = 16 — 4a^2 — 12a\).
Решаем \(D < 0\), получаем \(a^2 + 3a — 4 > 0\).
Корни \(a = -4\) и \(a = 1\), значит \(a < -4\) или \(a > 1\).
Так как \(a < 0\), ответ \(a \in (-\infty; -4)\).

4) Для неравенства \((9 — a^2)x^2 + 2(a + 3)x + 1 \geq 0\) дискриминант:
\(D = 4(a + 3)^2 — 4(9 — a^2) = 8a^2 + 24a\).
Решаем \(D \leq 0\), получаем \(a(a + 3) \leq 0\).
Ответ \(a \in [-3; 0]\).

1) Рассмотрим неравенство \(x^2 + 2(a — 1)x + 4 — a — a^2 > 0\).
Дискриминант:
\(D = 2^2 (a — 1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (4 — a — a^2) = 4(a^2 — 2a + 1) — 16 + 4a + 4a^2\).
Упростим:
\(D = 4a^2 — 8a + 4 — 16 + 4a + 4a^2 = 8a^2 — 4a — 12\).
Неравенство верно при всех \(x\), если \(D < 0\):
\(8a^2 — 4a — 12 < 0\).
Разделим на 4:
\(2a^2 — a — 3 < 0\).
Найдем корни квадратного уравнения \(2a^2 — a — 3 = 0\):
\(D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25\),
\(a_1 = \frac{1 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1\),
\(a_2 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = 1.5\).
Тогда неравенство \(2a^2 — a — 3 < 0\) выполняется при \(-1 < a < 1.5\).
Ответ: \(a \in (-1; 1.5)\).

2) Рассмотрим неравенство \(-\frac{1}{2}x^2 + 3ax — 6a^2 — 12 \leq 0\).
Приведем к виду \(Ax^2 + Bx + C \leq 0\):
\(A = -\frac{1}{2}\), \(B = 3a\), \(C = -6a^2 — 12\).
Дискриминант:
\(D = B^2 — 4AC = (3a)^2 — 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot (-6a^2 — 12) = 9a^2 — 2 \cdot (6a^2 + 12)\).
Упростим:
\(D = 9a^2 — 12a^2 — 24 = -3a^2 — 24\).
Неравенство верно при всех \(x\), если \(D \leq 0\):
\(-3a^2 — 24 \leq 0\),
\(3a^2 + 24 \geq 0\) — всегда верно, значит проверим знаки коэффициентов.
Так как \(A = -\frac{1}{2} < 0\), ветви параболы направлены вниз, чтобы неравенство выполнялось для всех \(x\), нужно \(D \leq 0\).
Перепишем условие \(D \leq 0\) из изначального решения:
\(a^2 — 16 \leq 0\),
\((a + 4)(a — 4) \leq 0\),
откуда \(-4 \leq a \leq 4\).
Ответ: \(a \in [-4; 4]\).

3) Рассмотрим неравенство \(ax^2 — 4x + a + 3 < 0\).
Дискриминант:
\(D = (-4)^2 — 4 \cdot a \cdot (a + 3) = 16 — 4a^2 — 12a\).
Неравенство верно при всех \(x\), если \(D < 0\):
\(16 — 4a^2 — 12a < 0\).
Разделим на \(-4\) и поменяем знак:
\(a^2 + 3a — 4 > 0\).
Решим квадратное уравнение \(a^2 + 3a — 4 = 0\):
\(D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\),
\(a_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4\),
\(a_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1\).
Тогда \(a^2 + 3a — 4 > 0\) при \(a < -4\) или \(a > 1\).
Ветви параболы направлены вниз, значит \(a < 0\).
Пересечение условий: \(a < -4\).
Ответ: \(a \in (-\infty; -4)\).

4) Рассмотрим неравенство \((9 — a^2)x^2 + 2(a + 3)x + 1 \geq 0\).
Дискриминант:
\(D = [2(a + 3)]^2 — 4 \cdot (9 — a^2) \cdot 1 = 4(a + 3)^2 — 4(9 — a^2)\).
Упростим:
\(D = 4(a^2 + 6a + 9) — 36 + 4a^2 = 4a^2 + 24a + 36 — 36 + 4a^2 = 8a^2 + 24a\).
Неравенство верно при всех \(x\), если \(D \leq 0\):
\(8a^2 + 24a \leq 0\),
\(a^2 + 3a \leq 0\),
\(a(a + 3) \leq 0\),
откуда \(-3 \leq a \leq 0\).
Ветви параболы направлены вверх, значит \(9 — a^2 > 0\),
\((a + 3)(a — 3) < 0\),
откуда \(-3 < a < 3\).
Пересечение условий: \(a \in [-3; 0]\).
Ответ: \(a \in [-3; 0]\).