ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 123 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(m\) не имеет решений неравенство:
1) \(mx^2 + 5mx + 4m + 3 < 0\);
2) \((3m — 2)x^2 — 2(2m — 1)x + 2m — 1 \geq 0\)?

1) \(mx^2 + 5mx + 4m + 3 < 0\) Вычисляем дискриминант: \(D = (5m)^2 — 4 \cdot m \cdot (4m + 3) = 25m^2 — 16m^2 — 12m = 9m^2 — 12m\). Неравенство не имеет решений, если \(D \leq 0\): \(9m^2 — 12m \leq 0\), \(3m(3m — 4) \leq 0\). Решаем: \(0 \leq m \leq \frac{4}{3}\). Ветви параболы направлены вверх, значит \(m > 0\).

Ответ: \(m \in \left[0; \frac{4}{3}\right]\).

2) \((3m — 2)x^2 — 2(2m — 1)x + 2m — 1 \geq 0\)

Вычисляем дискриминант:
\(D = (-2(2m — 1))^2 — 4(3m — 2)(2m — 1)\),
\(D = 4(2m — 1)^2 — 4(3m — 2)(2m — 1)\),
\(D = 4(4m^2 — 4m + 1) — 4(6m^2 — 3m — 4m + 2)\),
\(D = 16m^2 — 16m + 4 — 24m^2 + 12m + 16m — 8\),
\(D = -8m^2 + 12m — 4\).

Неравенство не имеет решений, если \(D < 0\):
\(-8m^2 + 12m — 4 < 0\). Умножаем на \(-1\) и меняем знак: \(8m^2 — 12m + 4 > 0\),
\(2m^2 — 3m + 1 > 0\).

Находим корни:
\(D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1\),
\(m_1 = \frac{3 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5\),
\(m_2 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1\).

Решаем неравенство:
\((m — 0.5)(m — 1) > 0\),
\(m < 0.5\) или \(m > 1\).

Ветви параболы направлены вниз, значит \(3m — 2 < 0\),
\(m < \frac{2}{3}\).

Пересечение:
\(m < 0.5\).

Ответ: \(m \in (-\infty; 0.5)\).

1) Рассмотрим неравенство \(mx^2 + 5mx + 4m + 3 < 0\).

Для начала определим, при каких значениях \(m\) оно имеет смысл. Если \(m = 0\), то неравенство превращается в \(3 < 0\), что неверно, значит \(m \neq 0\). Выпишем коэффициенты квадратного трёхчлена: \(a = m\), \(b = 5m\), \(c = 4m + 3\). Вычислим дискриминант: \(D = b^2 — 4ac = (5m)^2 — 4 \cdot m \cdot (4m + 3) = 25m^2 — 16m^2 — 12m =\)
\(= 9m^2 — 12m\). Чтобы неравенство было истинно для всех \(x\), парабола должна лежать ниже оси \(Ox\), то есть дискриминант должен быть меньше или равен нулю: \(D \leq 0\), \(9m^2 — 12m \leq 0\). Вынесем общий множитель: \(3m(3m — 4) \leq 0\). Решим неравенство: \(3m \leq 0\) и \(3m — 4 \geq 0\) или наоборот. Это даёт промежуток: \(0 \leq m \leq \frac{4}{3}\). Проверим знак коэффициента \(a = m\). Парабола направлена вверх при \(m > 0\), что совпадает с найденным промежутком.

Ответ для первого неравенства: \(m \in \left[0; \frac{4}{3}\right]\).

2) Рассмотрим неравенство \((3m — 2)x^2 — 2(2m — 1)x + 2m — 1 \geq 0\).

Выпишем коэффициенты: \(a = 3m — 2\), \(b = -2(2m — 1)\), \(c = 2m — 1\).

Вычислим дискриминант:
\(D = b^2 — 4ac = (-2(2m — 1))^2 — 4(3m — 2)(2m — 1) = 4(2m — 1)^2 -\)
\(- 4(3m — 2)(2m — 1)\).

Раскроем скобки:
\(4(4m^2 — 4m + 1) — 4(6m^2 — 3m — 4m + 2) = 16m^2 — 16m + 4 — 24m^2+\)
\( + 12m + 16m — 8\).

Сложим подобные:
\(-8m^2 + 12m — 4\).

Для неравенства \( \geq 0 \) парабола должна быть направлена вниз, значит \(a < 0\), то есть:
\(3m — 2 < 0\),
\(m < \frac{2}{3}\).

Чтобы неравенство было истинно для всех \(x\), дискриминант должен быть меньше нуля:
\(D < 0\),
\(-8m^2 + 12m — 4 < 0\). Умножим на \(-1\) и поменяем знак неравенства: \(8m^2 — 12m + 4 > 0\).

Разделим на 4:
\(2m^2 — 3m + 1 > 0\).

Найдём корни квадратного уравнения:
\(D_1 = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1\),
\(m_1 = \frac{3 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5\),
\(m_2 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1\).

Решение неравенства:
\((m — 0.5)(m — 1) > 0\),
то есть \(m < 0.5\) или \(m > 1\).

С учётом условия \(m < \frac{2}{3}\), остаётся только \(m < 0.5\).

Ответ для второго неравенства: \(m \in (-\infty; 0.5)\).