ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 124 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Для каждого значения \(a\) решите систему неравенств:
1) \(\begin{cases} x^2 — x — 12 > 0, \\ x > a; \end{cases}\)
2) \(\begin{cases} x^2 + 7x + 6 \leq 0, \\ x < a. \end{cases}\)

1) Система:
\(\begin{cases} x^2 — x — 12 > 0 \\ x > a \end{cases}\)
Решаем первое неравенство:
\(x^2 — x — 12 > 0\)
Дискриминант: \(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\)
Корни:
\(x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3\),
\(x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4\)
Факторы: \((x + 3)(x — 4) > 0\), значит \(x < -3\) или \(x > 4\).
Учитывая \(x > a\), получаем:
Если \(a \leq -3\), то \(x \in (a; -3) \cup (4; +\infty)\)
Если \(-3 < a \leq 4\), то \(x \in (4; +\infty)\) Если \(a > 4\), то \(x \in (a; +\infty)\)

2) Система:
\(\begin{cases} x^2 + 7x + 6 \leq 0 \\ x < a \end{cases}\) Решаем первое неравенство: \(x^2 + 7x + 6 \leq 0\) Дискриминант: \(D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25\) Корни: \(x_1 = \frac{-7 - 5}{2} = -6\), \(x_2 = \frac{-7 + 5}{2} = -1\) Факторы: \((x + 6)(x + 1) \leq 0\), значит \(-6 \leq x \leq -1\). Учитывая \(x < a\), получаем: Если \(a \leq -6\), то \(x \in \emptyset\) Если \(-6 < a \leq -1\), то \(x \in [-6; a)\) Если \(a > -1\), то \(x \in [-6; -1]\)

1) Рассмотрим систему неравенств:
\(\begin{cases} x^2 — x — 12 > 0 \\ x > a \end{cases}\)

Первое неравенство:
\(x^2 — x — 12 > 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\).

Найдём корни квадратного уравнения:
\(x_1 = \frac{1 — 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3\),
\(x_2 = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4\).

Запишем неравенство в виде произведения:
\((x + 3)(x — 4) > 0\).

Это означает, что произведение положительно, когда оба множителя положительны или оба отрицательны.
Значит:
\(x < -3\) или \(x > 4\).

Теперь учитываем второе неравенство \(x > a\).
Рассмотрим случаи для \(a\):

— Если \(a \leq -3\), то множество решений первого неравенства с учётом второго будет
\(x \in (a; -3) \cup (4; +\infty)\).

— Если \(-3 < a \leq 4\), то учитывая \(x > a\), решения будут только из второго интервала:
\(x \in (4; +\infty)\).

— Если \(a > 4\), то решения будут \(x \in (a; +\infty)\).

Ответ:
\(x \in (a; -3) \cup (4; +\infty)\), если \(a \leq -3\);
\(x \in (4; +\infty)\), если \(-3 < a \leq 4\); \(x \in (a; +\infty)\), если \(a > 4\).

2) Рассмотрим систему:
\(\begin{cases} x^2 + 7x + 6 \leq 0 \\ x < a \end{cases}\) Решаем первое неравенство: \(x^2 + 7x + 6 \leq 0\). Вычислим дискриминант: \(D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25\). Найдём корни уравнения: \(x_1 = \frac{-7 - 5}{2} = \frac{-12}{2} = -6\), \(x_2 = \frac{-7 + 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1\). Факториализуем: \((x + 6)(x + 1) \leq 0\). Это неравенство верно, когда \(x\) лежит между корнями: \(-6 \leq x \leq -1\). Теперь учитываем второе неравенство \(x < a\). Рассмотрим случаи: - Если \(a \leq -6\), то \(x < a \leq -6\), но \(x\) должно быть в промежутке \([-6; -1]\), пересечения нет, значит решений нет: \(x \in \emptyset\). - Если \(-6 < a \leq -1\), то решения будут в промежутке \([-6; a)\). - Если \(a > -1\), то решения будут в полном промежутке \([-6; -1]\).

Ответ:
\(x \in \emptyset\), если \(a \leq -6\);
\(x \in [-6; a)\), если \(-6 < a \leq -1\); \(x \in [-6; -1]\), если \(a > -1\).