ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 125 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Для каждого значения \(a\) решите неравенство:
1) \(x^2 — (a + 8)x + 8a \leq 0\);
2) \(x^2 + (1 — 3a)x + 2a^2 — 3a — 2 > 0\).

1) \(x^2 — (a + 3)x + 3a \leq 0\);
Дискриминант:
\(D = (a + 3)^2 — 4 \cdot 3a = a^2 + 6a + 9 — 12a = a^2 — 6a + 9 = (a — 3)^2\).
Корни:
\(x_1 = \frac{(a + 3) — (a — 3)}{2} = \frac{6}{2} = 3\),
\(x_2 = \frac{(a + 3) + (a — 3)}{2} = \frac{2a}{2} = a\).
Неравенство можно записать как \((x — x_1)(x — x_2) \leq 0\), значит
\(x\) лежит между корнями: \(x_1 \leq x \leq x_2\).
Ответ:

2) \(x^2 + (1 — 3a)x + 2a^2 — 3a — 2 > 0\);
Дискриминант:
\(D = (1 — 3a)^2 — 4(2a^2 — 3a — 2) = 1 — 6a + 9a^2 — 8a^2 + 12a + 8 = a^2 +\)
\(+ 6a + 9 = (a + 3)^2\).
Корни:
\(x_1 = \frac{-(1 — 3a) — (a + 3)}{2} = \frac{-1 + 3a — a — 3}{2} = \frac{2a — 4}{2} = a — 2\),
\(x_2 = \frac{-(1 — 3a) + (a + 3)}{2} = \frac{-1 + 3a + a + 3}{2} = \frac{4a + 2}{2} = 1 + 2a\).
Неравенство \(> 0\) значит \(x < x_1\) или \(x > x_2\).
Сравним корни:
\(a — 2 > 1 + 2a \Rightarrow a < -3\).
Ответ:

1) Решим неравенство \(x^2 — (a + 3)x + 3a \leq 0\).

Для начала найдем дискриминант квадратного трёхчлена:
\(D = (a + 3)^2 — 4 \cdot 3a = a^2 + 6a + 9 — 12a = a^2 — 6a + 9\).

Обратим внимание, что \(D = (a — 3)^2\), то есть дискриминант является полным квадратом.

Найдём корни уравнения:
\(x_1 = \frac{(a + 3) — (a — 3)}{2} = \frac{6}{2} = 3\),
\(x_2 = \frac{(a + 3) + (a — 3)}{2} = \frac{2a}{2} = a\).

Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, неравенство \( \leq 0 \) означает, что \(x\) лежит между корнями:
\((x — x_1)(x — x_2) \leq 0 \Rightarrow x_1 \leq x \leq x_2\).

Ответ зависит от сравнения \(a\) и 3:

2) Решим неравенство \(x^2 + (1 — 3a)x + 2a^2 — 3a — 2 > 0\).

Сначала найдём дискриминант:
\(D = (1 — 3a)^2 — 4(2a^2 — 3a — 2) = 1 — 6a + 9a^2 — 8a^2 + 12a + 8 =\)

\(= a^2 + 6a + 9\).

Обратим внимание, что \(D = (a + 3)^2\).

Найдём корни уравнения:
\(x_1 = \frac{-(1 — 3a) — (a + 3)}{2} = \frac{-1 + 3a — a — 3}{2} = \frac{2a — 4}{2} = a — 2\),
\(x_2 = \frac{-(1 — 3a) + (a + 3)}{2} = \frac{-1 + 3a + a + 3}{2} = \frac{4a + 2}{2} = 1 + 2a\).

Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, неравенство \(> 0\) означает, что \(x\) лежит вне интервала между корнями:
\((x — x_1)(x — x_2) > 0 \Rightarrow x < x_1 \text{ или } x > x_2\).

Сравним корни:
\(a — 2 > 1 + 2a \Rightarrow a < -3\).

Ответ зависит от \(a\):