ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 126 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:
1) \(|x^2 — x — 8| < 9\); 2) \(|x^2 + 5x| > 6\);
3) \(|x — 4|(x + 2) \geq 4x\);
4) \(x^2 — 4|x| < 12\); 5) \(x^2 - 5x + 9 > |x — 6|\);
6) \(x^2 + 2|x — 1| + 7 \leq 4|x — 2|\).

1) \(|x^2 — x — 3| < 9\) Если \(x^2 - x - 3 > 0\), тогда
\(x^2 — x — 3 < 9\), \(x^2 - x - 12 < 0\). Дискриминант: \(D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49\). Корни: \(x_1 = \frac{1 - 7}{2} = -3\), \(x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4\). Неравенство: \((x + 3)(x - 4) < 0\), то есть \(-3 < x < 4\). Если \(x^2 - x - 3 < 0\), тогда \(x^2 - x - 3 > -9\),
\(x^2 — x + 6 > 0\).
Дискриминант:
\(D = 1 — 24 = -23 < 0\), значит \(x \in \mathbb{R}\). Ответ:

2) \(|x^2 + 5x| > 6\)

Число под модулем:
\(x^2 + 5x \geq 0\),
\((x + 5)x \geq 0\),
значит \(x \leq -5\) или \(x \geq 0\).

Если \(x \leq -5\) или \(x \geq 0\), тогда
\(x^2 + 5x > 6\),
\(x^2 + 5x — 6 > 0\).
Дискриминант:
\(D = 25 + 24 = 49\).
Корни:
\(x_1 = \frac{-5 — 7}{2} = -6\),
\(x_2 = \frac{-5 + 7}{2} = 1\).
Неравенство:
\((x + 6)(x — 1) > 0\),
то есть \(x < -6\) или \(x > 1\).

Если \(-5 < x < 0\), тогда \(x^2 + 5x < 0\), значит \(x^2 + 5x < -6\), \(x^2 + 5x + 6 < 0\). Дискриминант: \(D = 25 - 24 = 1\). Корни: \(x_1 = \frac{-5 - 1}{2} = -3\), \(x_2 = \frac{-5 + 1}{2} = -2\). Неравенство: \((x + 3)(x + 2) < 0\), то есть \(-3 < x < -2\). Ответ:

3) \(|x — 4|(x + 2) \geq 4x\)

Число под модулем:
\(x — 4 \geq 0\),
значит \(x \geq 4\).

Если \(x \geq 4\), тогда
\((x — 4)(x + 2) \geq 4x\),
\(x^2 + 2x — 4x — 8 \geq 4x\),
\(x^2 — 6x — 8 \geq 0\).
Дискриминант:
\(D = 36 + 32 = 68\).
Корни:
\(x = \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} = 3 \pm \sqrt{17}\).
Неравенство:
\((x — (3 — \sqrt{17}))(x — (3 + \sqrt{17})) \geq 0\),
то есть \(x \leq 3 — \sqrt{17}\) или \(x \geq 3 + \sqrt{17}\).

Если \(x < 4\), тогда \(-(x - 4)(x + 2) \geq 4x\), \(-x^2 - 2x + 4x + 8 \geq 4x\), \(x^2 + 2x - 8 \leq 0\). Дискриминант: \(D = 4 + 32 = 36\). Корни: \(x_1 = \frac{-2 - 6}{2} = -4\), \(x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2\). Неравенство: \((x + 4)(x - 2) \leq 0\), то есть \(-4 \leq x \leq 2\). Ответ:

4) \(x^2 — 4|x| < 12\) Если \(x \geq 0\), тогда \(x^2 - 4x < 12\), \(x^2 - 4x - 12 < 0\). Дискриминант: \(D = 16 + 48 = 64\). Корни: \(x_1 = \frac{4 - 8}{2} = -2\), \(x_2 = \frac{4 + 8}{2} = 6\). Неравенство: \((x + 2)(x - 6) < 0\), то есть \(-2 < x < 6\). Если \(x < 0\), тогда \(x^2 + 4x < 12\), \(x^2 + 4x - 12 < 0\). Дискриминант: \(D = 16 + 48 = 64\). Корни: \(x_1 = \frac{-4 - 8}{2} = -6\), \(x_2 = \frac{-4 + 8}{2} = 2\). Неравенство: \((x + 6)(x - 2) < 0\), то есть \(-6 < x < 2\). Ответ:

5) \(x^2 — 5x + 9 > |x — 6|\)

Если \(x \geq 6\), тогда
\(x^2 — 5x + 9 > x — 6\),
\(x^2 — 6x + 15 > 0\).
Дискриминант:
\(D = 36 — 60 = -24 < 0\), значит \(x \in \mathbb{R}\). Если \(x < 6\), тогда \(x^2 - 5x + 9 > -(x — 6)\),
\(x^2 — 4x + 3 > 0\).
Дискриминант:
\(D = 16 — 12 = 4\).
Корни:
\(x_1 = 1\),
\(x_2 = 3\).
Неравенство:
\((x — 1)(x — 3) > 0\),
то есть \(x < 1\) или \(x > 3\).

Ответ:

6) \(x^2 + 2|x — 1| + 7 \leq 4|x — 2|\)

Если \(x \geq 2\), тогда
\(x^2 + 2(x — 1) + 7 \leq 4(x — 2)\),
\(x^2 + 2x — 2 + 7 \leq 4x — 8\),
\(x^2 — 2x + 13 \leq 0\).
Дискриминант:
\(D = 4 — 52 = -48 < 0\), значит решений нет. Если \(1 \leq x < 2\), тогда \(x^2 + 2(x - 1) + 7 \leq -4(x - 2)\), \(x^2 + 2x - 2 + 7 \leq -4x + 8\), \(x^2 + 6x - 3 \leq 0\). Дискриминант: \(D = 36 + 12 = 48\). Корни: \(x_1 = \frac{-6 - 4\sqrt{3}}{2} = -3 - 2\sqrt{3}\), \(x_2 = \frac{-6 + 4\sqrt{3}}{2} = -3 + 2\sqrt{3}\). Неравенство: \((x - (-3 - 2\sqrt{3}))(x - (-3 + 2\sqrt{3})) \leq 0\), то есть \(-3 - 2\sqrt{3} \leq x \leq -3 + 2\sqrt{3}\). Если \(x < 1\), тогда \(x^2 - 2(x - 1) + 7 \leq -4(x - 2)\), \(x^2 - 2x + 2 + 7 \leq -4x + 8\), \(x^2 + 2x + 1 \leq 0\). \((x + 1)^2 \leq 0\), значит \(x = -1\). Ответ:

1) Рассмотрим неравенство \(|x^2 — x — 3| < 9\). Если \(x^2 - x - 3 > 0\), то неравенство примет вид
\(x^2 — x — 3 < 9\), откуда \(x^2 - x - 12 < 0\). Вычислим дискриминант: \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\). Корни уравнения: \(x_1 = \frac{1 - 7}{2} = -3\), \(x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4\). Неравенство принимает вид: \((x + 3)(x - 4) < 0\), что означает \(-3 < x < 4\). Если \(x^2 - x - 3 < 0\), то \(x^2 - x - 3 > -9\),
или
\(x^2 — x + 6 > 0\).

Дискриминант:
\(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 — 24 = -23 < 0\), значит выражение положительно для всех \(x\). Ответ:

2) Решим неравенство \(|x^2 + 5x| > 6\).

Число под модулем:
\(x^2 + 5x \geq 0\),
что эквивалентно
\((x + 5)x \geq 0\),
то есть
\(x \leq -5\) или \(x \geq 0\).

Если \(x \leq -5\) или \(x \geq 0\), то
\(x^2 + 5x > 6\),
или
\(x^2 + 5x — 6 > 0\).

Вычислим дискриминант:
\(D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49\).

Корни:
\(x_1 = \frac{-5 — 7}{2} = -6\),
\(x_2 = \frac{-5 + 7}{2} = 1\).

Неравенство:
\((x + 6)(x — 1) > 0\),
то есть
\(x < -6\) или \(x > 1\).

Если \(-5 < x < 0\), то \(x^2 + 5x < 0\), следовательно \(x^2 + 5x < -6\), или \(x^2 + 5x + 6 < 0\). Дискриминант: \(D = 25 - 24 = 1\). Корни: \(x_1 = \frac{-5 - 1}{2} = -3\), \(x_2 = \frac{-5 + 1}{2} = -2\). Неравенство: \((x + 3)(x + 2) < 0\), то есть \(-3 < x < -2\). Ответ:

3) Решим неравенство \(|x — 4|(x + 2) \geq 4x\).

Число под модулем:
\(x — 4 \geq 0\),
значит
\(x \geq 4\).

Если \(x \geq 4\), то
\((x — 4)(x + 2) \geq 4x\),
преобразуем:
\(x^2 + 2x — 4x — 8 \geq 4x\),
\(x^2 — 6x — 8 \geq 0\).

Дискриминант:
\(D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68\).

Корни:
\(x = \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} = 3 \pm \sqrt{17}\).

Неравенство:
\((x — (3 — \sqrt{17}))(x — (3 + \sqrt{17})) \geq 0\),
то есть
\(x \leq 3 — \sqrt{17}\) или \(x \geq 3 + \sqrt{17}\).

Если \(x < 4\), то \(-(x - 4)(x + 2) \geq 4x\), преобразуем: \(-x^2 - 2x + 4x + 8 \geq 4x\), \(x^2 + 2x - 8 \leq 0\). Дискриминант: \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\). Корни: \(x_1 = \frac{-2 - 6}{2} = -4\), \(x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2\). Неравенство: \((x + 4)(x - 2) \leq 0\), то есть \(-4 \leq x \leq 2\). Ответ:

4) Решим неравенство \(x^2 — 4|x| < 12\). Если \(x \geq 0\), то \(x^2 - 4x < 12\), или \(x^2 - 4x - 12 < 0\). Дискриминант: \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64\). Корни: \(x_1 = \frac{4 - 8}{2} = -2\), \(x_2 = \frac{4 + 8}{2} = 6\). Неравенство: \((x + 2)(x - 6) < 0\), то есть \(-2 < x < 6\). Если \(x < 0\), то \(x^2 + 4x < 12\), или \(x^2 + 4x - 12 < 0\). Дискриминант: \(D = 16 + 48 = 64\). Корни: \(x_1 = \frac{-4 - 8}{2} = -6\), \(x_2 = \frac{-4 + 8}{2} = 2\). Неравенство: \((x + 6)(x - 2) < 0\), то есть \(-6 < x < 2\). Ответ:

5) Решим неравенство \(x^2 — 5x + 9 > |x — 6|\).

Если \(x \geq 6\), то
\(x^2 — 5x + 9 > x — 6\),
преобразуем:
\(x^2 — 6x + 15 > 0\).

Дискриминант:
\(D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 15 = 36 — 60 = -24 < 0\), значит неравенство верно для всех \(x\). Если \(x < 6\), то \(x^2 - 5x + 9 > -(x — 6)\),
преобразуем:
\(x^2 — 4x + 3 > 0\).

Дискриминант:
\(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4\).

Корни:
\(x_1 = 1\),
\(x_2 = 3\).

Неравенство:
\((x — 1)(x — 3) > 0\),
то есть
\(x < 1\) или \(x > 3\).

Ответ:

6) Решим неравенство \(x^2 + 2|x — 1| + 7 \leq 4|x — 2|\).

Если \(x \geq 2\), то
\(x^2 + 2(x — 1) + 7 \leq 4(x — 2)\),
преобразуем:
\(x^2 + 2x — 2 + 7 \leq 4x — 8\),
\(x^2 — 2x + 13 \leq 0\).

Дискриминант:
\(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 13 = 4 — 52 = -48 < 0\), значит решений нет. Если \(1 \leq x < 2\), то \(x^2 + 2(x - 1) + 7 \leq -4(x - 2)\), преобразуем: \(x^2 + 2x - 2 + 7 \leq -4x + 8\), \(x^2 + 6x - 3 \leq 0\). Дискриминант: \(D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 36 + 12 = 48\). Корни: \(x_1 = \frac{-6 - 4\sqrt{3}}{2} = -3 - 2\sqrt{3}\), \(x_2 = \frac{-6 + 4\sqrt{3}}{2} = -3 + 2\sqrt{3}\). Неравенство: \((x - (-3 - 2\sqrt{3}))(x - (-3 + 2\sqrt{3})) \leq 0\), то есть \(-3 - 2\sqrt{3} \leq x \leq -3 + 2\sqrt{3}\). Если \(x < 1\), то \(x^2 - 2(x - 1) + 7 \leq -4(x - 2)\), преобразуем: \(x^2 - 2x + 2 + 7 \leq -4x + 8\), \(x^2 + 2x + 1 \leq 0\). Это квадрат полного выражения: \((x + 1)^2 \leq 0\), значит \(x = -1\). Ответ: