ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 126 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:
1) \(|x^2 — x — 8| < 9\); 2) \(|x^2 + 5x| > 6\);
3) \(|x — 4|(x + 2) \geq 4x\);
4) \(x^2 — 4|x| < 12\); 5) \(x^2 — 5x + 9 > |x — 6|\);
6) \(x^2 + 2|x — 1| + 7 \leq 4|x — 2|\).

1) При \(x^2 — x — 3 > 0\): \(x^2 — x — 12 < 0\), корни: \(x = -3\), \(x = 4\), решение: \(-3 < x < 4\). При \(x^2 - x - 3 < 0\): \(x^2 - x + 6 > 0\) (нет корней), значит \(x \in \mathbb{R}\).
Ответ: \(x \in (-3; 4)\).

2) При \(x \leq -5\) или \(x \geq 0\): \(x^2 + 5x — 6 > 0\), корни: \(-6\), \(1\), решение: \(x < -6\) или \(x > 1\).
При \(-5 < x < 0\): \(x^2 + 5x + 6 < 0\), корни: \(-3\), \(-2\), решение: \(-3 < x < -2\). Ответ: \(x \in (-\infty; -6) \cup (-3; -2) \cup (1; +\infty)\). 3) При \(x \geq 4\): \(x^2 - 6x - 8 \geq 0\), корни: \(3 - \sqrt{17}\), \(3 + \sqrt{17}\), решение: \(x \leq 3 - \sqrt{17}\) или \(x \geq 3 + \sqrt{17}\). При \(x < 4\): \(x^2 + 2x - 8 \leq 0\), корни: \(-4\), \(2\), решение: \(-4 \leq x \leq 2\). Ответ: \(x \in [-4; 2] \cup [3 + \sqrt{17}; +\infty)\). 4) При \(x \geq 0\): \(x^2 - 4x - 12 < 0\), корни: \(-2\), \(6\), решение: \(-2 < x < 6\). При \(x < 0\): \(x^2 + 4x - 12 < 0\), корни: \(-6\), \(2\), решение: \(-6 < x < 2\). Объединение: \(x \in (-6; 6)\). 5) При \(x \geq 6\): \(x^2 - 6x + 15 > 0\) (всегда верно).
При \(x < 6\): \(x^2 - 4x + 3 > 0\), корни: \(1\), \(3\), решение: \(x < 1\) или \(x > 3\).
Ответ: \(x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)\).

6) При \(x \geq 2\): \(x^2 — 2x + 13 \leq 0\) — нет решений.
При \(1 \leq x < 2\): \(x^2 + 6x - 3 \leq 0\), корни: \(-3 - 2\sqrt{3}\), \(-3 + 2\sqrt{3}\), решение: \(-3 - 2\sqrt{3} \leq x \leq -3 + 2\sqrt{3}\) (не входит в интервал \(1 \leq x < 2\)). При \(x < 1\): \((x + 1)^2 \leq 0\), решение: \(x = -1\). Ответ: \(x = -1\).

1) Рассмотрим неравенство \(|x^2 — x — 3| < 9\). Если \(x^2 - x - 3 > 0\), тогда \(x^2 — x — 3 < 9\), что эквивалентно \(x^2 - x - 12 < 0\). Вычислим дискриминант: \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\). Корни уравнения: \(x_1 = \frac{1 - 7}{2} = -3\), \(x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4\). Неравенство принимает вид \((x + 3)(x - 4) < 0\), следовательно, \(-3 < x < 4\). Если \(x^2 - x - 3 < 0\), то \(x^2 - x - 3 > -9\), то есть \(x^2 — x + 6 > 0\).

Дискриминант: \(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 — 24 = -23 < 0\), значит \(x \in \mathbb{R}\). Ответ: \(x \in (-3; 4)\). 2) Рассмотрим неравенство \(|x^2 + 5x| > 6\).

Рассмотрим знак выражения под модулем: \(x^2 + 5x \geq 0\), то есть \((x + 5)x \geq 0\), откуда \(x \leq -5\) или \(x \geq 0\).

При \(x \leq -5\) или \(x \geq 0\) решаем \(x^2 + 5x > 6\), то есть \(x^2 + 5x — 6 > 0\).

Вычислим дискриминант: \(D = 25 + 24 = 49\).

Корни: \(x_1 = \frac{-5 — 7}{2} = -6\), \(x_2 = \frac{-5 + 7}{2} = 1\).

Неравенство: \((x + 6)(x — 1) > 0\), значит \(x < -6\) или \(x > 1\).

Если \(-5 < x < 0\), тогда \(x^2 + 5x < 0\), следовательно, \(x^2 + 5x < -6\), то есть \(x^2 + 5x + 6 < 0\). Дискриминант: \(D = 25 - 24 = 1\). Корни: \(x_1 = \frac{-5 - 1}{2} = -3\), \(x_2 = \frac{-5 + 1}{2} = -2\). Неравенство: \((x + 3)(x + 2) < 0\), значит \(-3 < x < -2\). Ответ: \(x \in (-\infty; -6) \cup (-3; -2) \cup (1; +\infty)\). 3) Рассмотрим неравенство \(|x - 4|(x + 2) \geq 4x\). Если \(x - 4 \geq 0\), то есть \(x \geq 4\), тогда \((x - 4)(x + 2) \geq 4x\). Раскроем скобки: \(x^2 + 2x - 4x - 8 \geq 4x\), что даёт \(x^2 - 6x - 8 \geq 0\). Дискриминант: \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68\). Корни: \(x = \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} = 3 \pm \sqrt{17}\). Неравенство: \((x - (3 - \sqrt{17}))(x - (3 + \sqrt{17})) \geq 0\), значит \(x \leq 3 - \sqrt{17}\) или \(x \geq 3 + \sqrt{17}\). Если \(x < 4\), тогда \(-(x - 4)(x + 2) \geq 4x\). Раскроем скобки: \(-x^2 - 2x + 4x + 8 \geq 4x\), что даёт \(x^2 + 2x - 8 \leq 0\). Дискриминант: \(D = 4 + 32 = 36\). Корни: \(x_1 = \frac{-2 - 6}{2} = -4\), \(x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2\). Неравенство: \((x + 4)(x - 2) \leq 0\), значит \(-4 \leq x \leq 2\). Ответ: \(x \in [-4; 2] \cup [3 + \sqrt{17}; +\infty)\). 4) Рассмотрим неравенство \(x^2 - 4|x| < 12\). Если \(x \geq 0\), тогда \(x^2 - 4x < 12\), то есть \(x^2 - 4x - 12 < 0\). Дискриминант: \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64\). Корни: \(x_1 = \frac{4 - 8}{2} = -2\), \(x_2 = \frac{4 + 8}{2} = 6\). Неравенство: \((x + 2)(x - 6) < 0\), значит \(-2 < x < 6\). Если \(x < 0\), тогда \(x^2 + 4x < 12\), то есть \(x^2 + 4x - 12 < 0\). Дискриминант: \(D = 16 + 48 = 64\). Корни: \(x_1 = \frac{-4 - 8}{2} = -6\), \(x_2 = \frac{-4 + 8}{2} = 2\). Неравенство: \((x + 6)(x - 2) < 0\), значит \(-6 < x < 2\). Объединение решений: \(x \in (-6; 6)\). 5) Рассмотрим неравенство \(x^2 - 5x + 9 > |x — 6|\).

Если \(x \geq 6\), тогда \(x^2 — 5x + 9 > x — 6\), то есть \(x^2 — 6x + 15 > 0\).

Дискриминант: \(D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 15 = 36 — 60 = -24 < 0\), значит неравенство верно для всех \(x \geq 6\). Если \(x < 6\), тогда \(x^2 - 5x + 9 > -(x — 6)\), то есть \(x^2 — 4x + 3 > 0\).

Дискриминант: \(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4\).

Корни: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 3\).

Неравенство: \((x — 1)(x — 3) > 0\), значит \(x < 1\) или \(x > 3\).

Объединяя с \(x < 6\), получаем \(x \in (-\infty; 1) \cup (3; 6)\). Учитывая, что для \(x \geq 6\) неравенство всегда верно, ответ: \(x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)\). 6) Рассмотрим неравенство \(x^2 + 2|x - 1| + 7 \leq 4|x - 2|\). Если \(x \geq 2\), тогда \(x^2 + 2(x - 1) + 7 \leq 4(x - 2)\). Раскроем скобки: \(x^2 + 2x - 2 + 7 \leq 4x - 8\), что даёт \(x^2 - 2x + 13 \leq 0\). Дискриминант: \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 4 - 52 = -48 < 0\), решений нет. Если \(1 \leq x < 2\), тогда \(x^2 + 2(x - 1) + 7 \leq -4(x - 2)\). Раскроем скобки: \(x^2 + 2x - 2 + 7 \leq -4x + 8\), что даёт \(x^2 + 6x - 3 \leq 0\). Дискриминант: \(D = 36 + 12 = 48\). Корни: \(x_1 = \frac{-6 - 4\sqrt{3}}{2} = -3 - 2\sqrt{3}\), \(x_2 = \frac{-6 + 4\sqrt{3}}{2} = -3 + 2\sqrt{3}\). Неравенство: \((x - (-3 - 2\sqrt{3}))(x - (-3 + 2\sqrt{3})) \leq 0\), значит \(-3 - 2\sqrt{3} \leq x \leq -3 + 2\sqrt{3}\). Поскольку этот интервал не пересекается с \(1 \leq x < 2\), решений в этом промежутке нет. Если \(x < 1\), тогда \(x^2 - 2(x - 1) + 7 \leq -4(x - 2)\). Раскроем скобки: \(x^2 - 2x + 2 + 7 \leq -4x + 8\), что даёт \(x^2 + 2x + 1 \leq 0\). Это квадрат полного квадрата \((x + 1)^2 \leq 0\), значит \(x = -1\). Ответ: \(x = -1\).