ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 127 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите графически систему уравнений:

1) \(\begin{cases} xy = 8, \\ x + y = 6; \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} y = x^2 — 2x + 3, \\ y = 3x — 1; \end{cases}\)

3) \(\begin{cases} x^2 — y = 8, \\ x + y = -2; \end{cases}\)

4) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y = 2x — 5; \end{cases}\)

5) \(\begin{cases} (x + 2)^2 + y^2 = 10, \\ x + y + 4 = 0; \end{cases}\)

6) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ xy = -6. \end{cases}\)

1)
\( y = \frac{8}{x} \), \( y = 6 — x \)

Ответ: (2; 4), (4; 2).

2)
\( y = x^2 — 2x + 3 \), \( y = 3x — 1 \)
Вершина параболы: \( x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = 1 \)
\( y_0 = 1^2 — 2 \cdot 1 + 3 = 2 \)

Ответ: (1; 2), (4; 11).

3)
\( y = x^2 — 8 \), \( y = -x — 2 \)

Ответ: (-3; 1), (2; -4).

4)
\( x^2 + y^2 = 25 \), \( y = 2x — 5 \)
Радиус \( R = 5 \)

Ответ: (0; -5), (4; 3).

5)
\( (x + 2)^2 + y^2 = 10 \), \( y = -x — 4 \)
Центр окружности \((-2, 0)\), радиус \( \sqrt{10} \)

Ответ: (-5; 1), (-1; -3).

6)
\( x^2 + y^2 = 13 \), \( xy = -6 \)
\( y = -\frac{6}{x} \)

Ответ: (-3; 2), (-2; 3), (2; -3), (3; -2).

1)
Система:
\( \begin{cases} xy = 8, \\ x + y = 6. \end{cases} \)
Выразим \( y \) из второго уравнения: \( y = 6 — x \). Подставим в первое:
\( x(6 — x) = 8 \Rightarrow 6x — x^2 = 8 \Rightarrow x^2 — 6x + 8 = 0 \).
Решаем квадратное уравнение:
Дискриминант \( D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4 \).
Корни: \( x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2 \), \( x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4 \).
Тогда \( y_1 = 6 — 2 = 4 \), \( y_2 = 6 — 4 = 2 \).

Проверка: \( y = \frac{8}{x} \) — гипербола. Таблица значений:

Таблица для прямой \( y = 6 — x \):

Ответ: (2; 4), (4; 2).

2)
Система:
\( \begin{cases} y = x^2 — 2x + 3, \\ y = 3x — 1. \end{cases} \)
Парабола \( y = x^2 — 2x + 3 \) имеет вершину в точке \( x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = 1 \).
Значение в вершине: \( y_0 = 1^2 — 2 \cdot 1 + 3 = 1 — 2 + 3 = 2 \).

Таблица для параболы:

Таблица для прямой \( y = 3x — 1 \):

Решаем уравнение \( x^2 — 2x + 3 = 3x — 1 \Rightarrow x^2 — 5x + 4 = 0 \).
Дискриминант: \( D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9 \).
Корни: \( x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \), \( x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \).
Значения \( y \): \( y_1 = 3 \cdot 1 — 1 = 2 \), \( y_2 = 3 \cdot 4 — 1 = 11 \).
Ответ: (1; 2), (4; 11).

3)
Система:
\( \begin{cases} x^2 — y = 8, \\ x + y = -2. \end{cases} \)
Выразим \( y \) из второго уравнения: \( y = -x — 2 \). Подставим в первое:
\( x^2 — (-x — 2) = 8 \Rightarrow x^2 + x + 2 = 8 \Rightarrow x^2 + x — 6 = 0 \).
Дискриминант: \( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \).
Корни: \( x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3 \), \( x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \).
Значения \( y \): \( y_1 = -(-3) — 2 = 3 — 2 = 1 \), \( y_2 = -2 — 2 = -4 \).

Таблица для параболы \( y = x^2 — 8 \):

Таблица для прямой \( y = -x — 2 \):

Ответ: (-3; 1), (2; -4).

4)
Система:
\( \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y = 2x — 5. \end{cases} \)
Подставим \( y = 2x — 5 \) в уравнение окружности:
\( x^2 + (2x — 5)^2 = 25 \Rightarrow x^2 + 4x^2 — 20x + 25 = 25 \Rightarrow 5x^2 — 20x = 0 \).
Вынесем \( 5x \): \( 5x(x — 4) = 0 \).
Корни: \( x = 0 \), \( x = 4 \).
Значения \( y \): \( y_1 = 2 \cdot 0 — 5 = -5 \), \( y_2 = 2 \cdot 4 — 5 = 3 \).

Таблица для окружности:

Таблица для прямой:

Ответ: (0; -5), (4; 3).

5)
Система:
\( \begin{cases} (x + 2)^2 + y^2 = 10, \\ x + y + 4 = 0. \end{cases} \)
Выразим \( y \) из второго уравнения: \( y = -x — 4 \). Подставим в первое:
\( (x + 2)^2 + (-x — 4)^2 = 10 \Rightarrow (x + 2)^2 + (x + 4)^2 = 10 \).
Раскроем скобки:
\( x^2 + 4x + 4 + x^2 + 8x + 16 = 10 \Rightarrow 2x^2 + 12x + 20 = 10 \Rightarrow 2x^2 + 12x +\)
\(+ 10 = 0 \).
Разделим на 2: \( x^2 + 6x + 5 = 0 \).
Дискриминант: \( D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16 \).
Корни: \( x_1 = \frac{-6 — 4}{2} = -5 \), \( x_2 = \frac{-6 + 4}{2} = -1 \).
Значения \( y \): \( y_1 = -(-5) — 4 = 5 — 4 = 1 \), \( y_2 = -(-1) — 4 = 1 — 4 = -3 \).

Таблица для окружности:

Ответ: (-5; 1), (-1; -3).

6)
Система:
\( \begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ xy = -6. \end{cases} \)
Выразим \( y = -\frac{6}{x} \). Подставим в первое уравнение:
\( x^2 + \left(-\frac{6}{x}\right)^2 = 13 \Rightarrow x^2 + \frac{36}{x^2} = 13 \).
Умножим на \( x^2 \):
\( x^4 — 13x^2 + 36 = 0 \).
Обозначим \( t = x^2 \), получаем:
\( t^2 — 13t + 36 = 0 \).
Дискриминант: \( D = (-13)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 — 144 = 25 \).
Корни: \( t_1 = \frac{13 — 5}{2} = 4 \), \( t_2 = \frac{13 + 5}{2} = 9 \).
Отсюда \( x = \pm 2 \), \( x = \pm 3 \).

Для \( x = 2 \), \( y = -\frac{6}{2} = -3 \);
для \( x = -2 \), \( y = -\frac{6}{-2} = 3 \);
для \( x = 3 \), \( y = -\frac{6}{3} = -2 \);
для \( x = -3 \), \( y = -\frac{6}{-3} = 2 \).
Ответ: (-3; 2), (-2; 3), (2; -3), (3; -2).