ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 128 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Определите графически количество решений системы уравнений:
1) \(\begin{cases} y = \sqrt{x}, \\ y = x — 4; \end{cases}\)
2) \(\begin{cases} y = x^3 — 5, \\ y = 6 — x^2; \end{cases}\)
3) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2 — 2; \end{cases}\)
4) \(\begin{cases} xy = 5, \\ y = 0,5x^2 + 1; \end{cases}\)
5) \(\begin{cases} x^2 + (y + 3)^2 = 9, \\ y = -4x^2 + 2; \end{cases}\)
6) \(\begin{cases} |y| = |x|, \\ y = x^2 — 6x + 5. \end{cases}\)

1)
\(y = \sqrt{x}\) — ветвь параболы, \(y = x — 4\) — прямая.

Ответ: 1 решение.

2)
\(y = x^2 — 5\), \(y = 6 — x^2\) — параболы.

Ответ: 2 решения.

3)
\(x^2 + y^2 = 4\) — окружность, \(y = x^2 — 2\) — парабола.

Ответ: 3 решения.

4)
\(xy = 5 \Rightarrow y = \frac{5}{x}\) — гипербола, \(y = 0,5x^2 + 1\) — парабола.

Ответ: 1 решение.

5)
\(x^2 + (y + 3)^2 = 9\) — окружность, \(y = -4x^2 + 2\) — парабола.

Ответ: 4 решения.

6)
\(|y| = |x|\) значит \(y = \pm x\), \(y = x^2 — 6x + 5\) — парабола.
Вершина параболы:
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2} = 3\),
\(y_0 = 3^2 — 6 \cdot 3 + 5 = 9 — 18 + 5 = -4\).

Ответ: 4 решения.

1)
Дана система:
\(y = \sqrt{x}\), \(y = x — 4\).

Первая функция — ветвь параболы. Подставим значения \(x\) для вычисления \(y\):Первая функция — ветвь параболы. При \(x = 1\), \(y = 1\); при \(x = 4\), \(y = 2\); при \(x = 9\), \(y = 3\).

Вторая функция — прямая. При \(x = 0\), \(y = -4\); при \(x = 4\), \(y = 0\).

Графики пересекаются в одной точке, значит решений 1.
Вторая функция — прямая, вычислим при тех же \(x\):
Графики пересекаются в одной точке, значит решений 1.

2)
Система:
\(y = x^2 — 5\), \(y = 6 — x^2\).

Обе функции — параболы. При \(x = 1\) значения \(y\) равны: для первой функции \(y = 1^2 — 5 = -4\), для второй — \(y = 6 — 1^2 = 5\). При \(x = 2\): первая функция даёт \(y = 2^2 — 5 = -1\), вторая — \(y = 6 — 2^2 = 2\). При \(x = 3\): первая функция \(y = 3^2 — 5 = 4\), вторая — \(y = 6 — 3^2 = -3\).

Графики пересекаются в двух точках, значит решений 2.

3)
Система:
\(x^2 + y^2 = 4\) — окружность с центром в (0,0) и радиусом 2,
\(y = x^2 — 2\) — парабола.

Подставим значения \(x\) и найдём \(y\) для параболы \(y = x^2 — 2\):

— При \(x = 1\), \(y = 1^2 — 2 = -1\)
— При \(x = 2\), \(y = 2^2 — 2 = 2\)
— При \(x = 3\), \(y = 3^2 — 2 = 7\)

Графики пересекаются в трёх точках, значит решений 3.

4)
Система:
\(xy = 5 \Rightarrow y = \frac{5}{x}\) — гипербола,
\(y = 0,5x^2 + 1\) — парабола.

Вычислим значения для функций:

Для \(y = \frac{5}{x}\):
— При \(x = 1\), \(y = \frac{5}{1} = 5\)
— При \(x = 5\), \(y = \frac{5}{5} = 1\)

Для \(y = 0,5x^2 + 1\):
— При \(x = 2\), \(y = 0,5 \times 2^2 + 1 = 3\)
— При \(x = 4\), \(y = 0,5 \times 4^2 + 1 = 9\)

Графики пересекаются в одной точке, значит решений 1.

5)
Система:
\(x^2 + (y + 3)^2 = 9\) — окружность с центром в (0, -3) и радиусом 3,
\(y = -4x^2 + 2\) — парабола.

Вычислим значения для параболы:

При \(x = 1\), \(y = -2\)
При \(x = 2\), \(y = -14\)

Графики пересекаются в четырёх точках, решений 4.

6)
Система:
\(|y| = |x|\), значит \(y = \pm x\),
\(y = x^2 — 6x + 5\) — парабола.
Вершина параболы:
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2} = 3\),
\(y_0 = 3^2 — 6 \cdot 3 + 5 = 9 — 18 + 5 = -4\).

Вычислим значения параболы:

При \(x = 2\), \(y = 3\)
При \(x = 4\), \(y = 9\)

Графики пересекаются в четырёх точках, решений 4.