ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 129 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

1) \(\begin{cases} x = 2 + y, \\ y^2 — 2xy = 3; \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} x + y = 7, \\ xy = 12; \end{cases}\)

3) \(\begin{cases} y + 4x = 6, \\ x^2 + 3xy — y^3 = 3; \end{cases}\)

4) \(\begin{cases} x^2 — xy + y = 16, \\ 3y — x = 14; \end{cases}\)

5) \(\begin{cases} 2x + 3y = 3, \\ 3y^2 — 4x = 18; \end{cases}\)

6) \(\begin{cases} 5x + y = -7, \\ (x + 4xy — 5) = -4. \end{cases}\)

1) Из \(x = 2 + y\) подставим в \(y^2 — 2xy = 3\):

\(y^2 — 2y(2 + y) = 3\)
\(y^2 — 4y — 2y^2 = 3\)
\(-y^2 — 4y — 3 = 0\)
\(y^2 + 4y + 3 = 0\)

Дискриминант: \(D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4\)
Корни: \(y_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3,\quad y_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1\)
Соответствующие \(x\): \(x_1 = 2 — 3 = -1,\quad x_2 = 2 — 1 = 1\)

Ответ: \((-1; -3), (1; -1)\)

2) Из \(x + y = 7\) выразим \(y = 7 — x\). Подставим в \(xy = 12\):

\(x(7 — x) = 12\)
\(7x — x^2 = 12\)
\(x^2 — 7x + 12 = 0\)

Дискриминант: \(D = 49 — 48 = 1\)
Корни: \(x_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3,\quad x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4\)
Соответствующие \(y\): \(y_1 = 7 — 3 = 4,\quad y_2 = 7 — 4 = 3\)

Ответ: \((3; 4), (4; 3)\)

3) Из \(y + 4x = 6\) выразим \(y = 6 — 4x\). Подставим в \(x^2 + 3xy — y^2 = 3\):

\(x^2 + 3x(6 — 4x) — (6 — 4x)^2 = 3\)
\(x^2 + 18x — 12x^2 — (36 — 48x + 16x^2) = 3\)
\(x^2 + 18x — 12x^2 — 36 + 48x — 16x^2 = 3\)
\(-27x^2 + 66x — 39 = 0\)
Умножим на \(-\frac{1}{3}\):
\(9x^2 — 22x + 13 = 0\)

Дискриминант: \(D = 22^2 — 4 \cdot 9 \cdot 13 = 484 — 468 = 16\)
Корни: \(x_1 = \frac{22 — 4}{18} = 1,\quad x_2 = \frac{22 + 4}{18} = \frac{13}{9}\)
Соответствующие \(y\):
\(y_1 = 6 — 4 \cdot 1 = 2,\quad y_2 = 6 — 4 \cdot \frac{13}{9} = \frac{27}{9} — \frac{52}{9} = \frac{-25}{9}\)

Ответ: \((1; 2), \left(\frac{13}{9}; -\frac{25}{9}\right)\)

4) Из \(3y — x = 14\) выразим \(x = 3y — 14\). Подставим в \(x^2 — xy + y = 16\):

\((3y — 14)^2 — (3y — 14)y + y = 16\)
\(9y^2 — 84y + 196 — 3y^2 + 14y + y = 16\)
\(6y^2 — 69y + 197 = 16\)
\(6y^2 — 69y + 181 = 0\)
Поделим на 3:
\(2y^2 — 23y + 60 = 0\)

Дискриминант: \(D = 23^2 — 4 \cdot 2 \cdot 60 = 529 — 480 = 49\)
Корни: \(y_1 = \frac{23 — 7}{4} = 4,\quad y_2 = \frac{23 + 7}{4} = 7.5\)
Соответствующие \(x\):
\(x_1 = 3 \cdot 4 — 14 = -2,\quad x_2 = 3 \cdot 7.5 — 14 = 8.5\)

Ответ: \((-2; 4), (8.5; 7.5)\)

5) Из \(2x + 3y = 3\) выразим \(x = \frac{3 — 3y}{2}\). Подставим в \(3y^2 — 4x = 18\):

\(3y^2 — 4 \cdot \frac{3 — 3y}{2} = 18\)
\(3y^2 — 2(3 — 3y) = 18\)
\(3y^2 — 6 + 6y = 18\)
\(3y^2 + 6y — 24 = 0\)
Поделим на 3:
\(y^2 + 2y — 8 = 0\)

Дискриминант: \(D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\)
Корни: \(y_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4,\quad y_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2\)
Соответствующие \(x\):
\(x_1 = \frac{3 — 3(-4)}{2} = \frac{3 + 12}{2} = 7.5,\quad x_2 = \frac{3 — 3 \cdot 2}{2} = \frac{3 — 6}{2} = -1.5\)

Ответ: \((7.5; -4), (-1.5; 2)\)

6) Из \(5x + y = -7\) выразим \(y = -7 — 5x\). Подставим в \((x + 4)(y — 5) = -4\):

\((x + 4)((-7 — 5x) — 5) = -4\)
\((x + 4)(-5x — 12) = -4\)
\(-5x^2 — 12x — 20x — 48 = -4\)
\(-5x^2 — 32x — 48 = -4\)
\(-5x^2 — 32x — 44 = 0\)
Умножим на \(-1\):
\(5x^2 + 32x + 44 = 0\)

Дискриминант: \(D = 32^2 — 4 \cdot 5 \cdot 44 = 1024 — 880 = 144\)
Корни: \(x_1 = \frac{-32 — 12}{10} = -4.4,\quad x_2 = \frac{-32 + 12}{10} = -2\)
Соответствующие \(y\):
\(y_1 = -7 — 5(-4.4) = -7 + 22 = 15,\quad y_2 = -7 — 5(-2) = -7 + 10 = 3\)

Ответ: \((-4.4; 15), (-2; 3)\)

1)
Из первого уравнения \(x = 2 + y\). Подставим в второе уравнение:
\(y^2 — 2xy = 3\)
\(y^2 — 2y(2 + y) = 3\)
\(y^2 — 4y — 2y^2 = 3\)
\(-y^2 — 4y — 3 = 0\)
Умножим на \(-1\):
\(y^2 + 4y + 3 = 0\)
Найдем дискриминант:
\(D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4\)
Корни:
\(y_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3\),
\(y_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1\)
Подставим в первое уравнение:
\(x_1 = 2 + (-3) = -1\),
\(x_2 = 2 + (-1) = 1\)
Ответ: \((-1; -3), (1; -1)\)

2)
Из первого уравнения \(x + y = 7\) выразим \(y = 7 — x\). Подставим во второе:
\(xy = 12\)
\(x(7 — x) = 12\)
\(7x — x^2 = 12\)
\(x^2 — 7x + 12 = 0\)
Дискриминант:
\(D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 — 48 = 1\)
Корни:
\(x_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3\),
\(x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4\)
Соответствующие \(y\):
\(y_1 = 7 — 3 = 4\),
\(y_2 = 7 — 4 = 3\)
Ответ: \((3; 4), (4; 3)\)

3)
Из первого уравнения \(y + 4x = 6\) выразим \(y = 6 — 4x\). Подставим во второе:
\(x^2 + 3xy — y^2 = 3\)
\(x^2 + 3x(6 — 4x) — (6 — 4x)^2 = 3\)
\(x^2 + 18x — 12x^2 — (36 — 48x + 16x^2) = 3\)
\(x^2 + 18x — 12x^2 — 36 + 48x — 16x^2 = 3\)
\(-27x^2 + 66x — 39 = 0\)
Умножим на \(-\frac{1}{3}\):
\(9x^2 — 22x + 13 = 0\)
Дискриминант:
\(D = 22^2 — 4 \cdot 9 \cdot 13 = 484 — 468 = 16\)
Корни:
\(x_1 = \frac{22 — 4}{18} = 1\),
\(x_2 = \frac{22 + 4}{18} = \frac{13}{9}\)
Соответствующие \(y\):
\(y_1 = 6 — 4 \cdot 1 = 2\),
\(y_2 = 6 — 4 \cdot \frac{13}{9} = 6 — \frac{52}{9} = \frac{54}{9} — \frac{52}{9} = \frac{2}{9}\)
Ответ: \((1; 2), \left(\frac{13}{9}; \frac{2}{9}\right)\)

4)
Из второго уравнения \(3y — x = 14\) выразим \(x = 3y — 14\). Подставим в первое:
\(x^2 — xy + y = 16\)
\((3y — 14)^2 — (3y — 14)y + y = 16\)
\(9y^2 — 84y + 196 — 3y^2 + 14y + y = 16\)
\(6y^2 — 69y + 197 = 16\)
\(6y^2 — 69y + 181 = 0\)
Разделим на 3:
\(2y^2 — 23y + 60 = 0\)
Дискриминант:
\(D = 23^2 — 4 \cdot 2 \cdot 60 = 529 — 480 = 49\)
Корни:
\(y_1 = \frac{23 — 7}{4} = 4\),
\(y_2 = \frac{23 + 7}{4} = 7.5\)
Соответствующие \(x\):
\(x_1 = 3 \cdot 4 — 14 = -2\),
\(x_2 = 3 \cdot 7.5 — 14 = 8.5\)
Ответ: \((-2; 4), (8.5; 7.5)\)

5)
Из первого уравнения \(2x + 3y = 3\) выразим \(x = \frac{3 — 3y}{2}\). Подставим во второе:
\(3y^2 — 4x = 18\)
\(3y^2 — 4 \cdot \frac{3 — 3y}{2} = 18\)
\(3y^2 — 2(3 — 3y) = 18\)
\(3y^2 — 6 + 6y = 18\)
\(3y^2 + 6y — 24 = 0\)
Разделим на 3:
\(y^2 + 2y — 8 = 0\)
Дискриминант:
\(D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\)
Корни:
\(y_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4\),
\(y_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2\)
Соответствующие \(x\):
\(x_1 = \frac{3 — 3(-4)}{2} = \frac{3 + 12}{2} = 7.5\),
\(x_2 = \frac{3 — 3 \cdot 2}{2} = \frac{3 — 6}{2} = -1.5\)
Ответ: \((7.5; -4), (-1.5; 2)\)

6)
Из первого уравнения \(5x + y = -7\) выразим \(y = -7 — 5x\). Подставим во второе:
\((x + 4)(y — 5) = -4\)
\((x + 4)((-7 — 5x) — 5) = -4\)
\((x + 4)(-5x — 12) = -4\)
\(-5x^2 — 12x — 20x — 48 = -4\)
\(-5x^2 — 32x — 48 = -4\)
\(-5x^2 — 32x — 44 = 0\)
Умножим на \(-1\):
\(5x^2 + 32x + 44 = 0\)
Дискриминант:
\(D = 32^2 — 4 \cdot 5 \cdot 44 = 1024 — 880 = 144\)
Корни:
\(x_1 = \frac{-32 — 12}{10} = -4.4\),
\(x_2 = \frac{-32 + 12}{10} = -2\)
Соответствующие \(y\):
\(y_1 = -7 — 5(-4.4) = -7 + 22 = 15\),
\(y_2 = -7 — 5(-2) = -7 + 10 = 3\)
Ответ: \((-4.4; 15), (-2; 3)\)