Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 130 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения:
1) прямой \(y = x — 3\) и параболы \(y = x^2 — 4x + 3\);
2) прямой \(x — 2y + 2 = 0\) и окружности \(x^2 + (y — 1)^2 = 5\);
3) прямой \(x + 2y — 6 = 0\) и окружности \((x — 1)^2 + (y — 2)^2 = 5\);
4) парабол \(y = 2x^2 — 3x + 1\) и \(y = -x^2 + x — 1\).
1) \(y = x — 3\) и \(y = x^2 — 4x + 3\):
\(x — 3 = x^2 — 4x + 3\);
\(x^2 — 5x + 6 = 0\);
\(D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1\);
\(x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3\);
\(y_1 = 2 — 3 = -1\), \(y_2 = 3 — 3 = 0\);
Ответ: (2; -1), (3; 0).
2) \(x — 2y + 2 = 0\) и \(x^2 + (y — 1)^2 = 5\):
\(x = 2y — 2\);
\((2y — 2)^2 + (y — 1)^2 = 5\);
\(4y^2 — 8y + 4 + y^2 — 2y + 1 = 5\);
\(5y^2 — 10y + 5 = 5\);
\(5y^2 — 10y = 0\);
\(y^2 — 2y = 0\);
\(y(y — 2) = 0\);
\(y_1 = 0\), \(y_2 = 2\);
\(x_1 = 2 \cdot 0 — 2 = -2\), \(x_2 = 2 \cdot 2 — 2 = 2\);
Ответ: (-2; 0), (2; 2).
3) \(x + 2y — 5 = 0\) и \((x — 1)^2 + (y — 2)^2 = 5\):
\(x = 5 — 2y\);
\(((5 — 2y) — 1)^2 + (y — 2)^2 = 5\);
\((4 — 2y)^2 + (y — 2)^2 = 5\);
\(16 — 16y + 4y^2 + y^2 — 4y + 4 = 5\);
\(5y^2 — 20y + 15 = 0\);
\(y^2 — 4y + 3 = 0\);
\(D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4\);
\(y_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1\), \(y_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3\);
\(x_1 = 5 — 2 \cdot 1 = 3\), \(x_2 = 5 — 2 \cdot 3 = -1\);
Ответ: (3; 1), (-1; 3).
4) \(y = 2x^2 — 3x + 1\) и \(y = -x^2 + x — 1\):
\(2x^2 — 3x + 1 = -x^2 + x — 1\);
\(3x^2 — 4x + 2 = 0\);
\(D = (-4)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 — 24 = -8\);
\(D < 0\), значит решений нет;
Ответ: нет таких точек.
1) Дана прямая \(y = x — 3\) и парабола \(y = x^2 — 4x + 3\). Чтобы найти точки пересечения, приравняем правые части уравнений:
\(x — 3 = x^2 — 4x + 3\).
Переносим все члены в левую часть:
\(x^2 — 4x + 3 — x + 3 = 0\),
что упрощается до
\(x^2 — 5x + 6 = 0\).
Решаем квадратное уравнение. Вычисляем дискриминант:
\(D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1\).
Корни:
\(x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3\).
Находим соответствующие \(y\):
\(y_1 = 2 — 3 = -1\), \(y_2 = 3 — 3 = 0\).
Ответ: (2; -1), (3; 0).
2) Дана прямая \(x — 2y + 2 = 0\) и окружность \(x^2 + (y — 1)^2 = 5\). Выражаем \(x\) из уравнения прямой:
\(x = 2y — 2\).
Подставляем в уравнение окружности:
\((2y — 2)^2 + (y — 1)^2 = 5\).
Раскрываем скобки:
\(4y^2 — 8y + 4 + y^2 — 2y + 1 = 5\).
Собираем подобные:
\(5y^2 — 10y + 5 = 5\).
Переносим 5 в левую часть:
\(5y^2 — 10y = 0\).
Делим на 5:
\(y^2 — 2y = 0\).
Факторизуем:
\(y(y — 2) = 0\).
Корни:
\(y_1 = 0\), \(y_2 = 2\).
Находим \(x\):
\(x_1 = 2 \cdot 0 — 2 = -2\), \(x_2 = 2 \cdot 2 — 2 = 2\).
Ответ: (-2; 0), (2; 2).
3) Дана прямая \(x + 2y — 5 = 0\) и окружность \((x — 1)^2 + (y — 2)^2 = 5\). Выражаем \(x\):
\(x = 5 — 2y\).
Подставляем в уравнение окружности:
\(((5 — 2y) — 1)^2 + (y — 2)^2 = 5\).
Упрощаем:
\((4 — 2y)^2 + (y — 2)^2 = 5\).
Раскрываем скобки:
\(16 — 16y + 4y^2 + y^2 — 4y + 4 = 5\).
Собираем подобные:
\(5y^2 — 20y + 20 = 5\).
Переносим 5 в левую часть:
\(5y^2 — 20y + 15 = 0\).
Делим на 5:
\(y^2 — 4y + 3 = 0\).
Вычисляем дискриминант:
\(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4\).
Корни:
\(y_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1\), \(y_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3\).
Находим \(x\):
\(x_1 = 5 — 2 \cdot 1 = 3\), \(x_2 = 5 — 2 \cdot 3 = -1\).
Ответ: (3; 1), (-1; 3).
4) Даны параболы \(y = 2x^2 — 3x + 1\) и \(y = -x^2 + x — 1\). Приравниваем:
\(2x^2 — 3x + 1 = -x^2 + x — 1\).
Переносим все в левую часть:
\(2x^2 — 3x + 1 + x^2 — x + 1 = 0\),
что даёт
\(3x^2 — 4x + 2 = 0\).
Вычисляем дискриминант:
\(D = (-4)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 — 24 = -8\).
Так как \(D < 0\), корней нет.
Ответ: нет таких точек.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.