ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 131 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

1) \(\begin{cases} x^2 + y^2 — 2xy = 36, \\ x + y = -4; \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} x^3 + 6xy + 9y^2 = 4, \\ x^2 — xy — 4y^2 = -2; \end{cases}\)

3) \(\begin{cases} x^2 + xy = 6, \\ xy + y^2 = 3; \end{cases}\)

4) \(\begin{cases} x^2 — 6y^2 = -5, \\ x^2 + 6y^2 = 7; \end{cases}\)

5) \(\begin{cases} 2x + 8xy = -20, \\ y — 3xy = 28; \end{cases}\)

6) \(\begin{cases} 4x^2 + y^2 = 13, \\ xy = -8. \end{cases}\)

1) Из второго уравнения: \(x + y = -4 \Rightarrow y = -4 — x\).
Подставляем в первое:
\(x^2 + (-4 — x)^2 — 2x(-4 — x) = 36\),
\(x^2 + 16 + 8x + x^2 + 8x + 2x^2 = 36\),
\(4x^2 + 16x + 16 = 36\),
\(4x^2 + 16x — 20 = 0\),
\(x^2 + 4x — 5 = 0\),
Дискриминант \(D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\),
\(x_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5\), \(x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1\),
\(y_1 = -4 — (-5) = 1\), \(y_2 = -4 — 1 = -5\).
Ответ: \((-5; 1), (1; -5)\).

2) Из первого уравнения:
\(x^2 + 6xy + 9y^2 = 4 \Rightarrow (x + 3y)^2 = 4\),
\(x + 3y = \pm 2 \Rightarrow x = \pm 2 — 3y\).
Подставляем во второе:
\((\pm 2 — 3y)^2 — y(\pm 2 — 3y) — 4y^2 = -2\),
Раскрываем скобки и упрощаем:
\(8y^2 \pm 14y + 6 = 0\), делим на 2:
\(4y^2 \pm 7y + 3 = 0\).
Для \(+\) и \(-\) решаем квадратное уравнение:
Дискриминант \(D = 7^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 — 48 = 1\).
Корни:
\(y_1 = \frac{-7 — 1}{8} = -1\), \(y_2 = \frac{-7 + 1}{8} = -0.75\),
\(y_3 = \frac{7 — 1}{8} = 0.75\), \(y_4 = \frac{7 + 1}{8} = 1\).
Соответствующие \(x\):
\(x_1 = -2 — 3(-1) = 1\), \(x_2 = -2 — 3(-0.75) = 0.25\),
\(x_3 = 2 — 3(0.75) = -0.25\), \(x_4 = 2 — 3(1) = -1\).
Ответ: \((1; -1), (0.25; -0.75), (-0.25; 0.75), (-1; 1)\).

3) Делим первое уравнение на второе:
\(\frac{x(x+y)}{y(x+y)} = \frac{6}{3} \Rightarrow \frac{x}{y} = 2 \Rightarrow x = 2y\).
Подставляем во второе:
\(y(x+y) = 3 \Rightarrow y(2y + y) = 3 \Rightarrow 3y^2 = 3 \Rightarrow y = \pm 1\),
\(x = 2 \cdot (\pm 1) = \pm 2\).
Ответ: \((-2; -1), (2; 1)\).

4) Складываем уравнения:
\(x^2 — 6y^2 + x^2 + 6y^2 = -5 + 7 \Rightarrow 2x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\).
Подставляем во второе:
\(x^2 + 6y^2 = 7 \Rightarrow 1 + 6y^2 = 7 \Rightarrow 6y^2 = 6 \Rightarrow y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1\).
Ответ: \((-1; -1), (-1; 1), (1; -1), (1; 1)\).

5) Складываем уравнения:
\(2x + 3xy + y — 3xy = -20 + 28 \Rightarrow 2x + y = 8 \Rightarrow y = 8 — 2x\).
Подставляем во второе:
\(y — 3xy = 28\),
\((8 — 2x) — 3x(8 — 2x) = 28\),
\(8 — 2x — 24x + 6x^2 = 28\),
\(6x^2 — 26x + 8 = 28\),
\(6x^2 — 26x — 20 = 0\), делим на 2:
\(3x^2 — 13x — 10 = 0\),
Дискриминант \(D = (-13)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289\),
\(x_1 = \frac{13 — 17}{6} = -\frac{2}{3}\), \(x_2 = \frac{13 + 17}{6} = 5\),
\(y_1 = 8 — 2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = 8 + \frac{4}{3} = \frac{28}{3}\),
\(y_2 = 8 — 2 \cdot 5 = -2\).
Ответ: \(\left(-\frac{2}{3}; \frac{28}{3}\right), (5; -2)\).

6) Из второго уравнения: \(xy = -3 \Rightarrow y = -\frac{3}{x}\).
Подставляем в первое:
\(4x^2 + \left(-\frac{3}{x}\right)^2 = 13\),
\(4x^2 + \frac{9}{x^2} = 13\), умножаем на \(x^2\):
\(4x^4 + 9 = 13x^2\),
Пусть \(u = x^2\), тогда:
\(4u^2 — 13u + 9 = 0\),
Дискриминант \(D = 13^2 — 4 \cdot 4 \cdot 9 = 169 — 144 = 25\),
\(u_1 = \frac{13 — 5}{8} = 1\), \(u_2 = \frac{13 + 5}{8} = 2.25\),
\(x_1 = \pm 1\), \(x_2 = \pm 1.5\),
\(y_1 = -\frac{3}{\pm 1} = \mp 3\),
\(y_2 = -\frac{3}{\pm 1.5} = \mp 2\).
Ответ: \((-1; 3), (1; -3), (-1.5; 2), (1.5; -2)\).

1) Из второго уравнения системы \(x + y = -4\) выразим \(y\):
\(y = -4 — x\).

Подставим это в первое уравнение:
\(x^2 + y^2 — 2xy = 36\),
заменяем \(y\) на \(-4 — x\):
\(x^2 + (-4 — x)^2 — 2x(-4 — x) = 36\).

Раскроем скобки:
\(x^2 + (16 + 8x + x^2) + 8x + 2x^2 = 36\),
соберём подобные члены:
\(x^2 + 16 + 8x + x^2 + 8x + 2x^2 = 36\),
\(4x^2 + 16x + 16 = 36\).

Переносим 36 влево:
\(4x^2 + 16x + 16 — 36 = 0\),
\(4x^2 + 16x — 20 = 0\).

Делим на 4:
\(x^2 + 4x — 5 = 0\).

Вычисляем дискриминант:
\(D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\).

Находим корни:
\(x_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5\),
\(x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1\).

Находим соответствующие \(y\):
\(y_1 = -4 — (-5) = 1\),
\(y_2 = -4 — 1 = -5\).

Ответ: \((-5; 1), (1; -5)\).

2) Из первого уравнения:
\(x^2 + 6xy + 9y^2 = 4\),
заметим, что это \((x + 3y)^2 = 4\),
значит \(x + 3y = \pm 2\),
откуда \(x = \pm 2 — 3y\).

Подставим в второе уравнение:
\(x^2 — xy — 4y^2 = -2\),
заменяем \(x\):
\((\pm 2 — 3y)^2 — y(\pm 2 — 3y) — 4y^2 = -2\).

Раскроем скобки:
\(4 \pm 12y + 9y^2 \mp 2y + 3y^2 — 4y^2 = -2\).

Соберём подобные члены:
\(8y^2 \pm 14y + 6 = 0\).

Делим на 2:
\(4y^2 \pm 7y + 3 = 0\).

Рассмотрим два случая для знаков.

Для \(4y^2 + 7y + 3 = 0\):
\(D = 7^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 — 48 = 1\),
\(y_1 = \frac{-7 — 1}{8} = -1\),
\(y_2 = \frac{-7 + 1}{8} = -\frac{3}{4} = -0.75\).

Для \(4y^2 — 7y + 3 = 0\):
\(D = (-7)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 — 48 = 1\),
\(y_3 = \frac{7 — 1}{8} = \frac{3}{4} = 0.75\),
\(y_4 = \frac{7 + 1}{8} = 1\).

Находим соответствующие \(x\):

Для \(x = 2 — 3y\) (берём знак \(+\) для \(x + 3y = 2\)):

\(x_1 = -2 — 3(-1) = 1\),
\(x_2 = -2 — 3(-0.75) = 0.25\).

Для \(x = -2 — 3y\) (берём знак \(-\) для \(x + 3y = -2\)):

\(x_3 = 2 — 3 \cdot 0.75 = -0.25\),
\(x_4 = 2 — 3 \cdot 1 = -1\).

Ответ: \((1; -1), (0.25; -0.75), (-0.25; 0.75), (-1; 1)\).

3) Из первого уравнения:
\(x^2 + xy = 6\),
из второго:
\(xy + y^2 = 3\).

Перемножим первое уравнение на \(y\), второе на \(x\):
\(y(x^2 + xy) = 6y\),
\(x(xy + y^2) = 3x\).

Получаем:
\(x^2 y + x y^2 = 6y\),
\(x^2 y + x y^2 = 3x\).

Разделим первое на второе:
\(\frac{6y}{3x} = 2 \Rightarrow \frac{y}{x} = 2\),
значит \(x = 2y\).

Подставим во второе уравнение:
\(xy + y^2 = 3\),
\(2y \cdot y + y^2 = 3\),
\(3y^2 = 3\),
\(y^2 = 1\),
\(y = \pm 1\).

Тогда \(x = 2y = \pm 2\).

Ответ: \((-2; -1), (2; 1)\).

4) Сложим уравнения:
\(x^2 — 6y^2 = -5\),
\(x^2 + 6y^2 = 7\).

Сумма:
\(2x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\).

Подставим в второе уравнение:
\(1 + 6y^2 = 7\),
\(6y^2 = 6\),
\(y^2 = 1\),
\(y = \pm 1\).

Ответ: \((-1; -1), (-1; 1), (1; -1), (1; 1)\).

5) Складываем уравнения:
\(2x + 3xy + y — 3xy = -20 + 28\),
\(2x + y = 8\),
\(y = 8 — 2x\).

Подставим во второе уравнение:
\(y — 3xy = 28\),
\((8 — 2x) — 3x(8 — 2x) = 28\),
\(8 — 2x — 24x + 6x^2 = 28\),
\(6x^2 — 26x + 8 = 28\),
\(6x^2 — 26x — 20 = 0\).

Делим на 2:
\(3x^2 — 13x — 10 = 0\).

Вычисляем дискриминант:
\(D = (-13)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289\).

Находим корни:
\(x_1 = \frac{13 — 17}{6} = -\frac{2}{3}\),
\(x_2 = \frac{13 + 17}{6} = 5\).

Находим \(y\):
\(y_1 = 8 — 2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = 8 + \frac{4}{3} = \frac{28}{3}\),
\(y_2 = 8 — 2 \cdot 5 = -2\).

Ответ: \(\left(-\frac{2}{3}; \frac{28}{3}\right), (5; -2)\).

6) Из второго уравнения:
\(xy = -3 \Rightarrow y = -\frac{3}{x}\).

Подставим в первое:
\(4x^2 + y^2 = 13\),
\(4x^2 + \left(-\frac{3}{x}\right)^2 = 13\),
\(4x^2 + \frac{9}{x^2} = 13\).

Умножаем на \(x^2\):
\(4x^4 + 9 = 13x^2\).

Пусть \(u = x^2\), тогда:
\(4u^2 — 13u + 9 = 0\).

Вычисляем дискриминант:
\(D = 13^2 — 4 \cdot 4 \cdot 9 = 169 — 144 = 25\).

Находим корни:
\(u_1 = \frac{13 — 5}{8} = 1\),
\(u_2 = \frac{13 + 5}{8} = \frac{18}{8} = 2.25\).

Находим \(x\):
\(x_1 = \pm 1\),
\(x_2 = \pm 1.5\).

Находим \(y\):
\(y_1 = -\frac{3}{\pm 1} = \mp 3\),
\(y_2 = -\frac{3}{\pm 1.5} = \mp 2\).

Ответ: \((-1; 3), (1; -3), (-1.5; 2), (1.5; -2)\).