ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 132 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

1) \(\begin{cases} x^2 — 8y^2 = 13, \\ xy = -4; \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} x + y — xy = -2, \\ xy(x + y) = 48; \end{cases}\)

3) \(\begin{cases} x^8 + y^8 = 7, \\ x^2 — xy + y^2 = 7; \end{cases}\)

4) \(\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2 \frac{1}{2}, \\ 2x — 3y = 8; \end{cases}\)

5) \(\begin{cases} \frac{2}{x — 2y} + \frac{1}{x + 2y} = 7, \\ \frac{15}{x — 2y} — \frac{2}{x + 2y} = 24; \end{cases}\)

6) \(\begin{cases} \frac{x + y}{x — y} — \frac{2(x — y)}{x + y} = 1, \\ x^2 — 5xy + 2y^2 = 4. \end{cases}\)

1)
Из \(xy = -4\) выразим \(y = \frac{-4}{x}\).
Подставим в первое уравнение:
\(x^2 — 3 \left(\frac{-4}{x}\right)^2 = 13\),
\(x^2 — 3 \frac{16}{x^2} = 13\),
\(x^4 — 48 = 13x^2\).
Пусть \(u = x^2\), тогда
\(u^2 — 13u — 48 = 0\).
Дискриминант \(D = 13^2 + 4 \cdot 48 = 361\).
Корни: \(u_1 = \frac{13 — 19}{2} = -3\) (отбрасываем, т.к. \(u = x^2 \geq 0\)),
\(u_2 = \frac{13 + 19}{2} = 16\).
Тогда \(x = \pm 4\).
Для \(x = -4\), \(y = \frac{-4}{-4} = 1\),
для \(x = 4\), \(y = \frac{-4}{4} = -1\).
Ответ: \((-4; 1), (4; -1)\).

2)
Пусть \(t = x + y\), \(u = xy\).
Тогда система:
\(\begin{cases} t — u = -2, \\ u t = 48. \end{cases}\)
Из первого: \(u = t + 2\).
Подставим во второе:
\((t + 2) t = 48\),
\(t^2 + 2t — 48 = 0\).
Дискриминант \(D = 4 + 192 = 196\).
Корни: \(t_1 = \frac{-2 — 14}{2} = -8\), \(t_2 = \frac{-2 + 14}{2} = 6\).
Для \(t = -8\), \(u = -6\).
Решаем систему:
\(\begin{cases} x + y = -8, \\ xy = -6. \end{cases}\)
Корни: \(x, y\) — корни уравнения \(z^2 + 8z — 6 = 0\).
Дискриминант \(64 + 24 = 88\).
\(x = \frac{-8 \pm \sqrt{88}}{2} = -4 \pm \sqrt{22}\).
Тогда \(y = -8 — x\).
Для \(t = 6\), \(u = 8\).
Система:
\(\begin{cases} x + y = 6, \\ xy = 8. \end{cases}\)
Уравнение: \(z^2 — 6z + 8 = 0\),
корни \(z = 2, 4\).
Ответ: \((-4 — \sqrt{22}; -4 + \sqrt{22}), (-4 + \sqrt{22}; -4 — \sqrt{22}), (2; 4), (4; 2)\).

3)
Из первого: \(x^3 + y^3 = 7\),
из второго: \(x^2 — xy + y^2 = 7\).
Из формулы суммы кубов:
\((x + y)(x^2 — xy + y^2) = 7\).
Так как \(x^2 — xy + y^2 = 7\), то
\(7(x + y) = 7\), значит \(x + y = 1\).
Подставим \(y = 1 — x\) во второе:
\(x^2 — x(1 — x) + (1 — x)^2 = 7\),
\(x^2 — x + x^2 + 1 — 2x + x^2 = 7\),
\(3x^2 — 3x + 1 = 7\),
\(3x^2 — 3x — 6 = 0\),
\(x^2 — x — 2 = 0\).
Дискриминант \(D = 1 + 8 = 9\).
Корни: \(x_1 = 2\), \(x_2 = -1\).
Тогда \(y_1 = 1 — 2 = -1\), \(y_2 = 1 — (-1) = 2\).
Ответ: \((-1; 2), (2; -1)\).

4)
Пусть \(u = \frac{x}{y}\).
Тогда \(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2}\).
Умножим на \(u\):
\(u^2 — \frac{5}{2} u + 1 = 0\).
Дискриминант \(D = \left(\frac{5}{2}\right)^2 — 4 = \frac{25}{4} — 4 = \frac{9}{4}\).
Корни: \(u_1 = \frac{5/2 — 3/2}{2} = \frac{1}{2}\), \(u_2 = \frac{5/2 + 3/2}{2} = 2\).
Для \(u = \frac{1}{2}\), из второго уравнения:
\(2x — 3y = 3\), \(x = \frac{1}{2} y\).
Подставим:
\(2 \cdot \frac{1}{2} y — 3y = 3\),
\(y — 3y = 3\),
\(-2y = 3\),
\(y = -\frac{3}{2}\),
\(x = \frac{1}{2} \cdot -\frac{3}{2} = -\frac{3}{4} = -0.75\).
Для \(u = 2\),
\(x = 2y\),
\(2(2y) — 3y = 3\),
\(4y — 3y = 3\),
\(y = 3\),
\(x = 6\).
Ответ: \((-0.75; -1.5), (6; 3)\).

5)
Пусть \(t = \frac{1}{x — 2y}\), \(u = \frac{1}{x + 2y}\).
Тогда система:
\(\begin{cases} 2t + u = 7, \\ 15t — 2u = 24. \end{cases}\)
Умножим первое на 2 и вычтем второе:
\(4t + 2u = 14\),
\(15t — 2u = 24\),
Сложим:
\(19t = 38\),
\(t = 2\).
Подставим в первое:
\(4 + u = 7\),
\(u = 3\).
Получаем систему:
\(\begin{cases} \frac{1}{x — 2y} = 2, \\ \frac{1}{x + 2y} = 3. \end{cases}\)
Отсюда:
\(x — 2y = \frac{1}{2}\),
\(x + 2y = \frac{1}{3}\).
Сложим:
\(2x = \frac{5}{6}\),
\(x = \frac{5}{12}\).
Вычтем:
\(4y = -\frac{1}{6}\),
\(y = -\frac{1}{24}\).
Ответ: \(\left(\frac{5}{12}; -\frac{1}{24}\right)\).

6)
Пусть \(u = \frac{x + y}{x — y}\).
Тогда
\(u — \frac{2}{u} = 1\),
\(u^2 — u — 2 = 0\).
Дискриминант \(D = 1 + 8 = 9\).
Корни: \(u_1 = 2\), \(u_2 = -1\).
Для \(u = -1\),
\(\frac{x + y}{x — y} = -1\),
\(x + y = — (x — y)\),
\(x + y = -x + y\),
\(2x = 0\),
\(x = 0\).
Подставим в \(x^2 — 5xy + 2y^2 = 4\):
\(0 — 0 + 2y^2 = 4\),
\(y^2 = 2\),
\(y = \pm \sqrt{2}\).
Для \(u = 2\),
\(x + y = 2(x — y)\),
\(x + y = 2x — 2y\),
\(x + y — 2x + 2y = 0\),
\(-x + 3y = 0\),
\(x = 3y\).
Подставим в уравнение:
\((3y)^2 — 5 \cdot 3y \cdot y + 2y^2 = 4\),
\(9y^2 — 15y^2 + 2y^2 = 4\),
\(-4y^2 = 4\),
\(y^2 = -1\) — нет действительных решений.
Ответ: \((0; -\sqrt{2}), (0; \sqrt{2})\).

1)
Из второго уравнения системы \(xy = -4\) выразим \(y = \frac{-4}{x}\).

Подставим это в первое уравнение:
\(x^2 — 3y^2 = 13\)
заменяем \(y\):
\(x^2 — 3 \left(\frac{-4}{x}\right)^2 = 13\),
\(x^2 — 3 \frac{16}{x^2} = 13\).

Умножим обе части на \(x^2\), чтобы избавиться от дроби:
\(x^4 — 48 = 13x^2\).

Пусть \(u = x^2\), тогда уравнение становится:
\(u^2 — 13u — 48 = 0\).

Вычислим дискриминант:
\(D = (-13)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 169 + 192 = 361\).

Найдём корни:
\(u_1 = \frac{13 — 19}{2} = -3\) (не подходит, так как \(u = x^2 \geq 0\)),
\(u_2 = \frac{13 + 19}{2} = 16\).

Тогда \(x = \pm 4\).

Для \(x = -4\), \(y = \frac{-4}{-4} = 1\),
для \(x = 4\), \(y = \frac{-4}{4} = -1\).

Ответ: \((-4; 1), (4; -1)\).

2)
Пусть \(t = x + y\), \(u = xy\).

Тогда из системы:
\(x + y — xy = -2\) даёт \(t — u = -2\),
а \(xy(x + y) = 48\) даёт \(u t = 48\).

Получаем систему:
\(\begin{cases} t — u = -2, \\ u t = 48. \end{cases}\)

Из первого уравнения выразим \(u = t + 2\).

Подставим во второе:
\((t + 2) t = 48\),
\(t^2 + 2t — 48 = 0\).

Вычислим дискриминант:
\(D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196\).

Найдём корни:
\(t_1 = \frac{-2 — 14}{2} = -8\),
\(t_2 = \frac{-2 + 14}{2} = 6\).

Для \(t = -8\), \(u = -8 + 2 = -6\).

Решаем систему:
\(\begin{cases} x + y = -8, \\ xy = -6. \end{cases}\)

Корни \(x, y\) — корни уравнения:
\(z^2 + 8z — 6 = 0\).

Дискриминант:
\(D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 64 + 24 = 88\).

Корни:
\(z = \frac{-8 \pm \sqrt{88}}{2} = -4 \pm \sqrt{22}\).

Тогда \(y = -8 — x\).

Для \(t = 6\), \(u = 6 + 2 = 8\).

Решаем систему:
\(\begin{cases} x + y = 6, \\ xy = 8. \end{cases}\)

Уравнение:
\(z^2 — 6z + 8 = 0\).

Дискриминант:
\(D = 36 — 32 = 4\).

Корни:
\(z = \frac{6 \pm 2}{2} = 2, 4\).

Ответ:
\((-4 — \sqrt{22}; -4 + \sqrt{22}), (-4 + \sqrt{22}; -4 — \sqrt{22}), (2; 4), (4; 2)\).

3)
Из первого уравнения:
\(x^3 + y^3 = 7\).

Второе уравнение:
\(x^2 — xy + y^2 = 7\).

По формуле суммы кубов:
\((x + y)(x^2 — xy + y^2) = x^3 + y^3 = 7\).

Так как \(x^2 — xy + y^2 = 7\), то
\(7(x + y) = 7\), значит \(x + y = 1\).

Подставим \(y = 1 — x\) во второе уравнение:
\(x^2 — x(1 — x) + (1 — x)^2 = 7\),
\(x^2 — x + x^2 + 1 — 2x + x^2 = 7\),
\(3x^2 — 3x + 1 = 7\),
\(3x^2 — 3x — 6 = 0\),
\(x^2 — x — 2 = 0\).

Дискриминант:
\(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\).

Корни:
\(x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1\),
\(x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2\).

Тогда
\(y_1 = 1 — (-1) = 2\),
\(y_2 = 1 — 2 = -1\).

Ответ: \((-1; 2), (2; -1)\).

4)
Пусть \(u = \frac{x}{y}\), тогда
\(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = u + \frac{1}{u} = 2 \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\).

Умножим на \(u\):
\(u^2 — \frac{5}{2} u + 1 = 0\).

Дискриминант:
\(D = \left(\frac{5}{2}\right)^2 — 4 = \frac{25}{4} — 4 = \frac{9}{4}\).

Корни:
\(u_1 = \frac{\frac{5}{2} — \frac{3}{2}}{2} = \frac{1}{2}\),
\(u_2 = \frac{\frac{5}{2} + \frac{3}{2}}{2} = 2\).

Для \(u = \frac{1}{2}\), из второго уравнения:
\(2x — 3y = 3\),
\(x = \frac{1}{2} y\).

Подставим:
\(2 \cdot \frac{1}{2} y — 3y = 3\),
\(y — 3y = 3\),
\(-2y = 3\),
\(y = -\frac{3}{2}\),
\(x = \frac{1}{2} \cdot -\frac{3}{2} = -\frac{3}{4} = -0.75\).

Для \(u = 2\),
\(x = 2y\),
\(2(2y) — 3y = 3\),
\(4y — 3y = 3\),
\(y = 3\),
\(x = 6\).

Ответ: \((-0.75; -1.5), (6; 3)\).

5)
Пусть \(t = \frac{1}{x — 2y}\), \(u = \frac{1}{x + 2y}\).

Система:
\(\begin{cases} 2t + u = 7, \\ 15t — 2u = 24. \end{cases}\)

Умножим первое уравнение на 2:
\(4t + 2u = 14\).

Сложим с вторым:
\(15t — 2u = 24\).

Сложение:
\(19t = 38\),
\(t = 2\).

Подставим в первое:
\(4 + u = 7\),
\(u = 3\).

Получаем:
\(\frac{1}{x — 2y} = 2\),
\(\frac{1}{x + 2y} = 3\).

Отсюда:
\(x — 2y = \frac{1}{2}\),
\(x + 2y = \frac{1}{3}\).

Сложим:
\(2x = \frac{5}{6}\),
\(x = \frac{5}{12}\).

Вычтем:
\(4y = -\frac{1}{6}\),
\(y = -\frac{1}{24}\).

Ответ: \(\left(\frac{5}{12}; -\frac{1}{24}\right)\).

6)
Пусть \(u = \frac{x + y}{x — y}\).

Тогда:
\(u — \frac{2}{u} = 1\).

Умножим на \(u\):
\(u^2 — u — 2 = 0\).

Дискриминант:
\(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\).

Корни:
\(u_1 = 2\),
\(u_2 = -1\).

Для \(u = -1\):
\(\frac{x + y}{x — y} = -1\),
\(x + y = — (x — y)\),
\(x + y = -x + y\),
\(2x = 0\),
\(x = 0\).

Подставим в уравнение:
\(x^2 — 5xy + 2y^2 = 4\),
\(0 — 0 + 2y^2 = 4\),
\(y^2 = 2\),
\(y = \pm \sqrt{2}\).

Для \(u = 2\):
\(x + y = 2(x — y)\),
\(x + y = 2x — 2y\),
\(x + y — 2x + 2y = 0\),
\(-x + 3y = 0\),
\(x = 3y\).

Подставим в уравнение:
\((3y)^2 — 5 \cdot 3y \cdot y + 2y^2 = 4\),
\(9y^2 — 15y^2 + 2y^2 = 4\),
\(-4y^2 = 4\),
\(y^2 = -1\) (нет действительных решений).

Ответ: \((0; -\sqrt{2}), (0; \sqrt{2})\).