ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 133 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

1) \(\begin{cases} x^2 — 5xy + 6y^2 = 0, \\ 3x^2 + 2xy — y^2 = 15; \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} 3x^3 — 2xy — y^2 = 7, \\ x^2 + xy + 8y^2 = 14. \end{cases}\)

1)
Из первого уравнения \(x^2 — 5xy + 6y^2 = 0\) рассмотрим как квадратное уравнение относительно \(x\):
\(x^2 — 5y x + 6 y^2 = 0\).

Вычислим дискриминант:
\(D = (5y)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 y^2 = 25 y^2 — 24 y^2 = y^2\).

Корни:
\(x_1 = \frac{5y — y}{2} = 2y\),
\(x_2 = \frac{5y + y}{2} = 3y\).

Подставим \(x = 2y\) во второе уравнение:
\(3x^2 + 2xy — y^2 = 15\),
\(3 (2y)^2 + 2 y (2y) — y^2 = 15\),
\(3 \cdot 4 y^2 + 4 y^2 — y^2 = 15\),
\(12 y^2 + 4 y^2 — y^2 = 15\),
\(15 y^2 = 15\),
\(y^2 = 1\),
\(y = \pm 1\).

Тогда \(x = 2y = \pm 2\).

Подставим \(x = 3y\) во второе уравнение:
\(3 (3y)^2 + 2 y (3y) — y^2 = 15\),
\(3 \cdot 9 y^2 + 6 y^2 — y^2 = 15\),
\(27 y^2 + 6 y^2 — y^2 = 15\),
\(32 y^2 = 15\),
\(y^2 = \frac{15}{32}\).

Умножим обе части на 2:
\(2 y^2 = \frac{30}{32} = \frac{15}{16}\),
но оставим как есть: \(y^2 = \frac{15}{32}\).

Тогда
\(y = \pm \frac{\sqrt{30}}{8}\),
так как \(\sqrt{15/32} = \frac{\sqrt{15}}{4 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{30}}{8}\).

Тогда
\(x = 3y = \pm \frac{3 \sqrt{30}}{8}\).

Ответ:
\((-2; -1), (2; 1), \left(-\frac{3 \sqrt{30}}{8}; -\frac{\sqrt{30}}{8}\right), \left(\frac{3 \sqrt{30}}{8}; \frac{\sqrt{30}}{8}\right)\).

2)
Пусть \(y = t x\).

Подставим в систему:
\(\begin{cases} 3x^2 — 2x y — y^2 = 7, \\ x^2 + x y + 8 y^2 = 14. \end{cases}\)

Заменим \(y = t x\):
\(3x^2 — 2x (t x) — (t x)^2 = 7\),
\(3x^2 — 2 t x^2 — t^2 x^2 = 7\),
\(x^2 (3 — 2 t — t^2) = 7\).

Второе уравнение:
\(x^2 + x (t x) + 8 (t x)^2 = 14\),
\(x^2 + t x^2 + 8 t^2 x^2 = 14\),
\(x^2 (1 + t + 8 t^2) = 14\).

Разделим второе уравнение на первое:
\(\frac{1 + t + 8 t^2}{3 — 2 t — t^2} = \frac{14}{7} = 2\).

Получаем:
\(1 + t + 8 t^2 = 2 (3 — 2 t — t^2)\),
\(1 + t + 8 t^2 = 6 — 4 t — 2 t^2\),
\(10 t^2 + 5 t — 5 = 0\).

Разделим на 5:
\(2 t^2 + t — 1 = 0\).

Вычислим дискриминант:
\(D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9\).

Корни:
\(t_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1\),
\(t_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).

Для \(t = -1\), \(y = -x\).

Подставим во второе уравнение:
\(x^2 + x (-x) + 8 (-x)^2 = 14\),
\(x^2 — x^2 + 8 x^2 = 14\),
\(8 x^2 = 14\),
\(x^2 = \frac{7}{4}\),
\(x = \pm \frac{\sqrt{7}}{2}\),
\(y = -x = \mp \frac{\sqrt{7}}{2}\).

Для \(t = \frac{1}{2}\), \(y = \frac{x}{2}\).

Подставим:
\(x^2 + x \cdot \frac{x}{2} + 8 \left(\frac{x}{2}\right)^2 = 14\),
\(x^2 + \frac{x^2}{2} + 8 \cdot \frac{x^2}{4} = 14\),
\(x^2 + \frac{x^2}{2} + 2 x^2 = 14\),
\(\frac{7}{2} x^2 = 14\),
\(x^2 = 4\),
\(x = \pm 2\),
\(y = \frac{x}{2} = \pm 1\).

Ответ:
\(\left(-\frac{\sqrt{7}}{2}; \frac{\sqrt{7}}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{7}}{2}; -\frac{\sqrt{7}}{2}\right), (-2; -1), (2; 1)\).

1)
Рассмотрим первое уравнение системы \(x^2 — 5xy + 6y^2 = 0\) как квадратное уравнение относительно \(x\):
\(x^2 — 5y x + 6 y^2 = 0\).

Вычислим дискриминант:
\(D = (5y)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 y^2 = 25 y^2 — 24 y^2 = y^2\).

Корни уравнения:
\(x_1 = \frac{5y — y}{2} = 2y\),
\(x_2 = \frac{5y + y}{2} = 3y\).

Подставим первое значение \(x = 2y\) во второе уравнение системы:
\(3x^2 + 2xy — y^2 = 15\),
\(3 (2y)^2 + 2 y (2y) — y^2 = 15\),
\(3 \cdot 4 y^2 + 4 y^2 — y^2 = 15\),
\(12 y^2 + 4 y^2 — y^2 = 15\),
\(15 y^2 = 15\),
\(y^2 = 1\),
\(y = \pm 1\).

Тогда \(x = 2y = \pm 2\).

Подставим второе значение \(x = 3y\) во второе уравнение:
\(3 (3y)^2 + 2 y (3y) — y^2 = 15\),
\(3 \cdot 9 y^2 + 6 y^2 — y^2 = 15\),
\(27 y^2 + 6 y^2 — y^2 = 15\),
\(32 y^2 = 15\),
\(y^2 = \frac{15}{32}\).

Вычислим \(y\):
\(y = \pm \frac{\sqrt{30}}{8}\),
поскольку \(\sqrt{\frac{15}{32}} = \frac{\sqrt{30}}{8}\).

Тогда
\(x = 3 y = \pm \frac{3 \sqrt{30}}{8}\).

Ответ:
\((-2; -1), (2; 1), \left(-\frac{3 \sqrt{30}}{8}; -\frac{\sqrt{30}}{8}\right), \left(\frac{3 \sqrt{30}}{8}; \frac{\sqrt{30}}{8}\right)\).

2)
Пусть \(y = t x\).

Подставим в систему:
\(\begin{cases} 3x^2 — 2xy — y^2 = 7, \\ x^2 + xy + 8y^2 = 14. \end{cases}\)

Заменим \(y = t x\):
\(3x^2 — 2x (t x) — (t x)^2 = 7\),
\(3x^2 — 2 t x^2 — t^2 x^2 = 7\),
\(x^2 (3 — 2 t — t^2) = 7\).

Второе уравнение:
\(x^2 + x (t x) + 8 (t x)^2 = 14\),
\(x^2 + t x^2 + 8 t^2 x^2 = 14\),
\(x^2 (1 + t + 8 t^2) = 14\).

Разделим второе уравнение на первое:
\(\frac{1 + t + 8 t^2}{3 — 2 t — t^2} = \frac{14}{7} = 2\).

Получаем:
\(1 + t + 8 t^2 = 2 (3 — 2 t — t^2)\),
\(1 + t + 8 t^2 = 6 — 4 t — 2 t^2\),
\(10 t^2 + 5 t — 5 = 0\).

Разделим на 5:
\(2 t^2 + t — 1 = 0\).

Вычислим дискриминант:
\(D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9\).

Корни:
\(t_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1\),
\(t_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).

Для \(t = -1\), \(y = -x\).

Подставим во второе уравнение:
\(x^2 + x (-x) + 8 (-x)^2 = 14\),
\(x^2 — x^2 + 8 x^2 = 14\),
\(8 x^2 = 14\),
\(x^2 = \frac{7}{4}\),
\(x = \pm \frac{\sqrt{7}}{2}\),
\(y = -x = \mp \frac{\sqrt{7}}{2}\).

Для \(t = \frac{1}{2}\), \(y = \frac{x}{2}\).

Подставим:
\(x^2 + x \cdot \frac{x}{2} + 8 \left(\frac{x}{2}\right)^2 = 14\),
\(x^2 + \frac{x^2}{2} + 8 \cdot \frac{x^2}{4} = 14\),
\(x^2 + \frac{x^2}{2} + 2 x^2 = 14\),
\(\frac{7}{2} x^2 = 14\),
\(x^2 = 4\),
\(x = \pm 2\),
\(y = \frac{x}{2} = \pm 1\).

Ответ:
\(\left(-\frac{\sqrt{7}}{2}; \frac{\sqrt{7}}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{7}}{2}; -\frac{\sqrt{7}}{2}\right), (-2; -1), (2; 1)\).