ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 134 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Сколько решений в зависимости от значения \(a\) имеет система уравнений:

1) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y = x + a; \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = a^2, \\ |x| = 3?. \end{cases}\)

1) Из системы \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ y = x + a \end{cases} \):

Подставим \( y = x + a \) в первое уравнение:
\( x^2 + (x + a)^2 = 1 \)
\( x^2 + x^2 + 2ax + a^2 = 1 \)
\( 2x^2 + 2ax + (a^2 — 1) = 0 \)

Дискриминант:
\( D = (2a)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (a^2 — 1) = 4a^2 — 8a^2 + 8 = 8 — 4a^2 \)

Уравнение имеет два решения, если \( D > 0 \):
\( 8 — 4a^2 > 0 \)
\( 2 — a^2 > 0 \)
\( a^2 < 2 \)
\( -\sqrt{2} < a < \sqrt{2} \)

Один корень, если \( D = 0 \), то есть \( a = \pm \sqrt{2} \).

Нет решений, если \( a < -\sqrt{2} \) или \( a > \sqrt{2} \).

2) Из системы \( \begin{cases} x^2 + y^2 = a^2 \\ |x| = 3 \end{cases} \):

\( |x| = 3 \Rightarrow x = \pm 3 \)

Подставим в первое уравнение:
\( (\pm 3)^2 + y^2 = a^2 \)
\( 9 + y^2 = a^2 \)
\( y^2 = a^2 — 9 \)

Для существования решений:
\( a^2 — 9 \geq 0 \)
\( a^2 \geq 9 \)
\( a \leq -3 \) или \( a \geq 3 \)

Если \( a^2 > 9 \), то решений 4 (по 2 для каждого \( x = \pm 3 \)).

Если \( a^2 = 9 \), то решений 2 (при \( y = 0 \)).

Если \( -3 < a < 3 \), решений нет.

Рассмотрим систему уравнений \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ y = x + a \end{cases} \). Первое уравнение описывает окружность с центром в начале координат и радиусом 1. Второе уравнение — прямая, наклонённая под углом 45° к оси \( x \), смещённая на величину \( a \) по оси \( y \). Чтобы найти точки пересечения, подставим выражение для \( y \) из второго уравнения в первое. Получаем: \( x^2 + (x + a)^2 = 1 \). Раскроем скобки: \( x^2 + x^2 + 2ax + a^2 = 1 \), что упрощается до \( 2x^2 + 2ax + (a^2 — 1) = 0 \).

Это квадратное уравнение относительно \( x \). Для определения количества решений уравнения нужно найти дискриминант: \( D = (2a)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (a^2 — 1) \). Подставляем и считаем: \( D = 4a^2 — 8a^2 + 8 = 8 — 4a^2 \). Количество корней зависит от знака дискриминанта. Если \( D > 0 \), уравнение имеет два различных корня, то есть прямая пересекает окружность в двух точках. Это происходит, когда \( 8 — 4a^2 > 0 \), или \( 2 — a^2 > 0 \), что даёт \( a^2 < 2 \), то есть \( -\sqrt{2} < a < \sqrt{2} \).

Если \( D = 0 \), уравнение имеет один корень, значит прямая касается окружности в одной точке. Это происходит при \( a = \pm \sqrt{2} \). Если \( D < 0 \), решений нет, то есть прямая не пересекает окружность, когда \( a < -\sqrt{2} \) или \( a > \sqrt{2} \). Таким образом, мы получили точные условия на параметр \( a \), при которых прямая и окружность пересекаются в двух, одной или ни одной точке.

Рассмотрим вторую систему \( \begin{cases} x^2 + y^2 = a^2 \\ |x| = 3 \end{cases} \). Здесь первое уравнение задаёт окружность с центром в начале координат и радиусом \( a \). Второе уравнение говорит, что \( x \) равен либо 3, либо -3. Это две вертикальные прямые, параллельные оси \( y \). Чтобы найти точки пересечения, подставим \( x = 3 \) и \( x = -3 \) в уравнение окружности.

При \( x = \pm 3 \) уравнение окружности становится \( 9 + y^2 = a^2 \), откуда \( y^2 = a^2 — 9 \). Чтобы \( y \) было действительным числом, выражение под корнем должно быть неотрицательным: \( a^2 — 9 \geq 0 \), то есть \( a^2 \geq 9 \). Это означает, что радиус окружности должен быть не меньше 3. Тогда при \( a^2 > 9 \) уравнение имеет два значения \( y \) для каждого \( x = \pm 3 \), всего 4 точки пересечения. Если \( a^2 = 9 \), то \( y = 0 \), и пересечения по две точки — всего 2. При \( -3 < a < 3 \) решений нет, так как \( y^2 \) отрицательно, то есть окружность не достигает линий \( x = \pm 3 \).

Таким образом, для второй системы количество точек пересечения зависит от величины радиуса окружности \( a \). Если радиус меньше 3, пересечений нет, если равен 3, две точки, если больше 3 — четыре точки.