ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 134 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Сколько решений в зависимости от значения \(a\) имеет система уравнений:

1) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y = x + a; \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = a^2, \\ |x| = 3?. \end{cases}\)

1)
\(x^2 + y^2 = 1\)
\(y = x + a\)

Подставим \(y\) во второе уравнение:
\(x^2 + (x + a)^2 = 1\)
\(x^2 + x^2 + 2ax + a^2 = 1\)
\(2x^2 + 2a x + a^2 — 1 = 0\)

Дискриминант:
\(D = (2a)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (a^2 — 1) = 4a^2 — 8a^2 + 8 = 8 — 4a^2\)

Решения существуют, если \(D > 0\):
\(8 — 4a^2 > 0\)
\(2 — a^2 > 0\)
\(a^2 < 2\) \((a + \sqrt{2})(a - \sqrt{2}) < 0\) Ответ: Два решения, если \(a \in (-\sqrt{2}; \sqrt{2})\); Одно решение, если \(a = \pm\sqrt{2}\); Нет решений, если \(a \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)\). 2) \(x^2 + y^2 = a^2\) \(|x| = 3\) Из второго уравнения: \(x = \pm 3\) Подставляем во второе уравнение: \((\pm 3)^2 + y^2 = a^2\) \(9 + y^2 = a^2\) \(y^2 = a^2 - 9\) Решения существуют, если \(a^2 - 9 > 0\):
\(a^2 > 9\)
\((a + 3)(a — 3) > 0\)
\(a < -3\) или \(a > 3\)

Ответ:
Четыре решения, если \(a \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)\);
Два решения, если \(a = \pm 3\);
Нет решений, если \(a \in (-3; 3)\).

1)
Рассмотрим систему уравнений: \(x^{2} + y^{2} = 1\) и \(y = x + a\). Подставляем выражение для \(y\) во второе уравнение: \(x^{2} + (x + a)^{2} = 1\). Раскрываем скобки: \(x^{2} + x^{2} + 2a x + a^{2} = 1\). Получаем квадратное уравнение относительно \(x\): \(2x^{2} + 2a x + a^{2} — 1 = 0\). Для нахождения числа решений квадратного уравнения используем дискриминант: \(D = (2a)^{2} — 4 \cdot 2 \cdot (a^{2} — 1)\). Вычисляем: \(4a^{2} — 8a^{2} + 8 = 8 — 4a^{2}\).

Рассмотрим условия на дискриминант: чтобы уравнение имело два различных корня, необходимо \(D > 0\), то есть \(8 — 4a^{2} > 0\). Делим обе части на 4: \(2 — a^{2} > 0\), то есть \(a^{2} < 2\). Это означает, что параметр \(a\) должен лежать между \(-\sqrt{2}\) и \(\sqrt{2}\), то есть \(a \in (-\sqrt{2}; \sqrt{2})\). Если \(a = \pm\sqrt{2}\), то дискриминант равен нулю, значит уравнение имеет один корень. Если \(a\) вне этих промежутков, то дискриминант отрицателен, решений нет. Таким образом, для данной системы: два решения существуют, если \(a \in (-\sqrt{2}; \sqrt{2})\); одно решение, если \(a = \pm\sqrt{2}\); решений нет, если \(a \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)\). 2) Вторая система: \(x^{2} + y^{2} = a^{2}\), \(|x| = 3\). Второе уравнение задаёт два значения для \(x\): \(x = 3\) и \(x = -3\). Подставляем каждое значение в первое уравнение: \((3)^{2} + y^{2} = a^{2}\) и \((-3)^{2} + y^{2} = a^{2}\), оба случая дают \(9 + y^{2} = a^{2}\), отсюда \(y^{2} = a^{2} - 9\). Для того чтобы уравнение имело решения по \(y\), выражение под корнем должно быть неотрицательным: \(a^{2} - 9 \geq 0\). Следовательно, \(a^{2} \geq 9\), то есть \(a \leq -3\) или \(a \geq 3\). Если \(a = 3\) или \(a = -3\), то \(y^{2} = 0\), единственное решение для каждого \(x\), итого два решения. Если \(a > 3\) или \(a < -3\), то \(y^{2} > 0\), для каждого \(x\) два значения \(y\): \(y = \pm\sqrt{a^{2} — 9}\), итого четыре решения.

Ответ: четыре решения, если \(a \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)\); два решения, если \(a = \pm 3\); нет решений, если \(a \in (-3; 3)\).