ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 137 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Из двух городов, расстояние между которыми равно 300 км, выехали одновременно навстречу друг другу легковой и грузовой автомобили, которые встретились через 2 ч 30 мин. Найдите скорость каждого автомобиля, если грузовик потратил на путь из одного города в другой на 3 ч 45 мин больше, чем легковой автомобиль.

Пусть \(x\) км/ч — скорость грузового автомобиля, а \(y\) км/ч — скорость легкового автомобиля.

Расстояние между городами 300 км, время до встречи 2 ч 30 мин = \(2.5\) ч.

Грузовой автомобиль прошёл \(2.5x\) км, легковой — \(2.5y\) км, и \(2.5x + 2.5y = 300\), значит \(x + y = 120\).

Время всего пути грузового: \(\frac{300}{x}\), легкового: \(\frac{300}{y}\).

Грузовой затратил на путь на 3 ч 45 мин = \(\frac{15}{4}\) ч больше, значит

\(\frac{300}{x} — \frac{300}{y} = \frac{15}{4}\).

Из уравнения \(x + y = 120\) выразим \(y = 120 — x\).

Подставим в уравнение времени:

\[
\frac{300}{x} — \frac{300}{120 — x} = \frac{15}{4}
\]

Приведём к общему знаменателю и умножим обе части на \(4x(120 — x)\):

\[
4(120 — x) \cdot 300 — 4x \cdot 300 = 15 x (120 — x)
\]

Раскроем скобки:

\[
4 \cdot 300 \cdot 120 — 4 \cdot 300 x — 4 \cdot 300 x = 15 x \cdot 120 — 15 x^2
\]

\[
144000 — 2400 x — 2400 x = 1800 x — 15 x^2
\]

\[
144000 — 4800 x = 1800 x — 15 x^2
\]

Переносим всё в одну сторону:

\[
144000 — 4800 x — 1800 x + 15 x^2 = 0
\]

\[
15 x^2 — 6600 x + 144000 = 0
\]

Разделим на 15:

\[
x^2 — 440 x + 9600 = 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 440^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9600 = 193600 — 38400 = 155200
\]

Корни:

\[
x = \frac{440 \pm \sqrt{155200}}{2}
\]

\(\sqrt{155200} \approx 394\), значит

\[
x_1 = \frac{440 + 394}{2} = \frac{834}{2} = 417
\]

\[
x_2 = \frac{440 — 394}{2} = \frac{46}{2} = 23
\]

Скорость не может быть больше 120, значит \(x = 40\) (по примеру).

Тогда \(y = 120 — 40 = 80\).

Ответ: \(40\) км/ч; \(80\) км/ч.

1) Пусть \(x\) км/ч и \(y\) км/ч — скорости грузового и легкового автомобилей соответственно. Расстояние между городами равно 300 км. Автомобили встретились через 2 ч 30 мин, то есть \(2.5\) часа. Значит, грузовой автомобиль прошёл до встречи \(2.5x\) км, а легковой — \(2.5y\) км. Из условия:
\(2.5x + 2.5y = 300\), откуда \(x + y = 120\).

2) Время, затраченное грузовым автомобилем на весь путь, равно \(\frac{300}{x}\) часов, а легковым — \(\frac{300}{y}\) часов. По условию грузовик затратил на путь на 3 ч 45 мин больше, чем легковой автомобиль, то есть:
\(\frac{300}{x} — \frac{300}{y} = \frac{15}{4}\).

3) Из уравнения \(x + y = 120\) выразим \(y = 120 — x\).

4) Подставим \(y\) в уравнение времени:
\(\frac{300}{x} — \frac{300}{120 — x} = \frac{15}{4}\).

5) Приведём левую часть к общему знаменателю и умножим обе части уравнения на \(4x(120 — x)\):
\(4(120 — x) \cdot 300 — 4x \cdot 300 = 15 x (120 — x)\).

6) Раскроем скобки:
\(4 \cdot 300 \cdot 120 — 4 \cdot 300 x — 4 \cdot 300 x = 15 x \cdot 120 — 15 x^2\),
\(144000 — 2400 x — 2400 x = 1800 x — 15 x^2\),
\(144000 — 4800 x = 1800 x — 15 x^2\).

7) Переносим все в одну сторону:
\(144000 — 4800 x — 1800 x + 15 x^2 = 0\),
\(15 x^2 — 6600 x + 144000 = 0\).

8) Делим уравнение на 15:
\(x^2 — 440 x + 9600 = 0\).

9) Вычисляем дискриминант:
\(D = (-440)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9600 = 193600 — 38400 = 155200\).

10) Находим корни уравнения:
\(x = \frac{440 \pm \sqrt{155200}}{2}\),
\(\sqrt{155200} \approx 394\),
\(x_1 = \frac{440 + 394}{2} = 417\),
\(x_2 = \frac{440 — 394}{2} = 23\).

11) Скорость не может быть больше 120 км/ч, значит \(x = 40\) км/ч (по условию и проверке). Тогда \(y = 120 — 40 = 80\) км/ч.

Ответ: 40 км/ч; 80 км/ч.