ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 138 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Из города в село, расстояние между которыми равно 45 км, выехали одновременно грузовик и велосипедист. Грузовик приехал в село на 2 ч раньше, чем велосипедист. Найдите скорость движения велосипедиста, если за 2 ч грузовик проезжает на 60 км больше, чем велосипедист за это же время.

Пусть скорость велосипедиста \(x\) км/ч, скорость грузовика \(y\) км/ч.

За 2 часа велосипедист проедет \(2x\) км, грузовик — \(2y\) км.

По условию:
\(2y — 2x = 60\)
Грузовик приехал на 2 часа раньше, значит:
\(\frac{45}{x} — \frac{45}{y} = 2\)

Из первого уравнения:
\(y = x + 30\)

Подставим во второе:
\(\frac{45}{x} — \frac{45}{x + 30} = 2\)

Домножим на \(x(x+30)\):
\(45(x + 30) — 45x = 2x(x + 30)\)
\(45x + 1350 — 45x = 2x^2 + 60x\)
\(1350 = 2x^2 + 60x\)

Переносим всё в левую часть:
\(2x^2 + 60x — 1350 = 0\)

Делим на 2:
\(x^2 + 30x — 675 = 0\)

Дискриминант:
\(D = 30^2 + 4 \cdot 675 = 900 + 2700 = 3600\)

Корни:
\(x_1 = \frac{-30 — 60}{2} = -45\)
\(x_2 = \frac{-30 + 60}{2} = 15\)

Скорость не может быть отрицательной, значит:
\(x = 15\) км/ч.

1) Рассмотрим задачу, в которой участвуют два транспортных средства: велосипедист и грузовик. Обозначим скорость велосипедиста через \(x\) км/ч, а скорость грузовика через \(y\) км/ч. Эти переменные отражают среднюю скорость каждого участника движения на протяжении всего пути. Из условия известно, что за 2 часа грузовик проезжает на 60 км больше, чем велосипедист. Это можно записать в виде уравнения: за 2 часа велосипедист проезжает расстояние \(2x\), а грузовик — \(2y\). Разница в пройденных расстояниях составит \(2y — 2x = 60\). Упростим это выражение, разделив обе части на 2, и получим уравнение \(y — x = 30\), или \(y = x + 30\). Это важное соотношение, показывающее, что скорость грузовика на 30 км/ч больше скорости велосипедиста.

2) Следующий шаг — учесть условие, что грузовик прибыл на место назначения на 2 часа раньше, чем велосипедист. Пусть длина пути равна 45 км. Тогда время, которое затратил велосипедист, равно отношению расстояния к его скорости, то есть \(\frac{45}{x}\) часов. Аналогично, время грузовика — \(\frac{45}{y}\) часов. Из условия следует, что разница во времени составляет 2 часа, то есть \(\frac{45}{x} — \frac{45}{y} = 2\). Подставим сюда выражение для \(y\) через \(x\), полученное ранее: \(\frac{45}{x} — \frac{45}{x + 30} = 2\).

3) Чтобы избавиться от дробей, домножим обе части уравнения на произведение знаменателей \(x(x + 30)\):
\(45(x + 30) — 45x = 2x(x + 30)\).
Раскроем скобки:
\(45x + 1350 — 45x = 2x^2 + 60x\).
Сократим одинаковые слагаемые в левой части:
\(1350 = 2x^2 + 60x\).
Перенесём все слагаемые в одну сторону уравнения:
\(2x^2 + 60x — 1350 = 0\).
Для удобства разделим на 2:
\(x^2 + 30x — 675 = 0\).

4) Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Вычислим дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = 30\), \(c = -675\):
\(D = 30^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-675) = 900 + 2700 = 3600\).
Корень дискриминанта равен \(\sqrt{3600} = 60\).

5) Найдём корни уравнения:
\(x_1 = \frac{-30 — 60}{2} = \frac{-90}{2} = -45\),
\(x_2 = \frac{-30 + 60}{2} = \frac{30}{2} = 15\).
Поскольку скорость не может быть отрицательной, отбрасываем \(x_1 = -45\). Остаётся \(x = 15\) км/ч — скорость велосипедиста. Тогда скорость грузовика равна \(y = x + 30 = 45\) км/ч. Таким образом, велосипедист движется со скоростью 15 км/ч, а грузовик — со скоростью 45 км/ч.