ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 139 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Катер проходит 66 км по течению реки и 54 км против течения за 6 ч. Этот катер проходит 44 км по течению на 3 ч быстрее, чем 90 км против течения. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки.

Пусть \(x\) км/ч — собственная скорость катера, \(y\) км/ч — скорость течения реки.

Скорость катера по течению: \(x + y\), против течения: \(x — y\).

Время движения по течению: \(\frac{66}{x + y}\), против течения: \(\frac{54}{x — y}\).

По условию: \(\frac{66}{x + y} + \frac{54}{x — y} = 6\).

Также катер проходит 44 км по течению на 3 часа быстрее, чем 90 км против течения:

\(\frac{44}{x + y} + 3 = \frac{90}{x — y}\).

Пусть \(u = \frac{1}{x + y}\), \(t = \frac{1}{x — y}\).

Тогда:

\(66u + 54t = 6\),

\(44u + 3 = 90t\), откуда \(90t — 44u = 3\).

Решаем систему:

\(66u + 54t = 6\),

\(-44u + 90t = 3\).

Умножим первое уравнение на 5, второе на 3:

\(330u + 270t = 30\),

\(-132u + 270t = 9\).

Вычитаем второе из первого:

\(462u = 21\), значит \(u = \frac{21}{462} = \frac{1}{22}\).

Подставляем в уравнение для \(t\):

\(90t — 44 \cdot \frac{1}{22} = 3\),

\(90t — 2 = 3\),

\(90t = 5\),

\(t = \frac{1}{18}\).

Возвращаемся к переменным \(x\) и \(y\):

\(\frac{1}{x + y} = \frac{1}{22} \Rightarrow x + y = 22\),

\(\frac{1}{x — y} = \frac{1}{18} \Rightarrow x — y = 18\).

Решаем систему:

\(x + y = 22\),

\(x — y = 18\).

Складываем:

\(2x = 40 \Rightarrow x = 20\).

Вычитаем:

\(2y = 4 \Rightarrow y = 2\).

Ответ: собственная скорость катера \(20\) км/ч, скорость течения реки \(2\) км/ч.

1) Пусть \(x\) км/ч — собственная скорость катера, а \(y\) км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость катера по течению будет \(x + y\), а против течения — \(x — y\). Время движения катера по течению равно \(\frac{66}{x + y}\), а против течения — \(\frac{54}{x — y}\). По условию задачи катер проходит 66 км по течению и 54 км против течения за 6 часов, значит:
\(\frac{66}{x + y} + \frac{54}{x — y} = 6\).

2) Также известно, что катер проходит 44 км по течению на 3 часа быстрее, чем 90 км против течения, значит:
\(\frac{44}{x + y} + 3 = \frac{90}{x — y}\).

3) Для удобства введём новые переменные:
\(u = \frac{1}{x + y}\),
\(t = \frac{1}{x — y}\).

Тогда система уравнений примет вид:
\(66u + 54t = 6\),
\(44u + 3 = 90t\), откуда
\(90t — 44u = 3\).

4) Решим систему:
\[
\begin{cases}
66u + 54t = 6 \\
-44u + 90t = 3
\end{cases}
\]

Умножим первое уравнение на 5, второе — на 3:
\(330u + 270t = 30\),
\(-132u + 270t = 9\).

5) Вычтем второе уравнение из первого:
\(330u + 270t — (-132u + 270t) = 30 — 9\),
\(462u = 21\),
откуда \(u = \frac{21}{462} = \frac{1}{22}\).

6) Подставим значение \(u\) во второе уравнение:
\(90t — 44 \cdot \frac{1}{22} = 3\),
\(90t — 2 = 3\),
\(90t = 5\),
\(t = \frac{1}{18}\).

7) Вернёмся к переменным \(x\) и \(y\):
\(\frac{1}{x + y} = \frac{1}{22} \Rightarrow x + y = 22\),
\(\frac{1}{x — y} = \frac{1}{18} \Rightarrow x — y = 18\).

8) Решаем систему:
\[
\begin{cases}
x + y = 22 \\
x — y = 18
\end{cases}
\]

Складываем уравнения:
\(2x = 40 \Rightarrow x = 20\).

9) Вычитаем уравнения:
\(2y = 4 \Rightarrow y = 2\).

Ответ: собственная скорость катера \(20\) км/ч, скорость течения реки \(2\) км/ч.