ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 140 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Из двух сёл, расстояние между которыми равно 6 км, вышли навстречу друг другу два пешехода, которые встретились на середине пути, причём один из них вышел на 15 мин позже другого. Если бы они вышли одновременно, то встретились бы через 86 мин. Найдите скорость каждого пешехода.

Пусть скорости пешеходов \(x\) км/ч и \(y\) км/ч. Тогда половина пути занимает у первого \(\frac{3}{x}\) часов, у второго \(\frac{3}{y}\) часов. Общий путь \(x + y = 10\) км (так как 6 км — расстояние, а время 36 минут = 0.6 ч, значит \(0.6(x+y) = 6 \Rightarrow x+y=10\)).

Второй пешеход вышел на 15 минут (то есть \(\frac{15}{60}=\frac{1}{4}\) ч) позже, встретились на середине пути, значит:

\[
\frac{3}{y} — \frac{3}{x} = \frac{1}{4}
\]

Если выйдут одновременно, встретятся через 36 минут (0.6 ч), значит:

\[
\frac{36}{60}(x + y) = 6 \implies x + y = 10
\]

Подставим \(y = 10 — x\):

\[
\frac{3}{10 — x} — \frac{3}{x} = \frac{1}{4}
\]

Умножим на \(4x(10-x)\):

\[
4x(10-x) \left(\frac{3}{10-x} — \frac{3}{x}\right) = 4x(10-x) \cdot \frac{1}{4}
\]

Раскроем скобки:

\[
3 \cdot 4x — 3 \cdot 4(10 — x) = x(10 — x)
\]

\[
12x — 120 + 12x = 10x — x^2
\]

\[
24x — 120 = 10x — x^2
\]

Переносим всё в левую часть:

\[
x^2 + 14x — 120 = 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 14^2 + 4 \cdot 120 = 196 + 480 = 676
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{-14 — 26}{2} = -20, \quad x_2 = \frac{-14 + 26}{2} = 6
\]

Скорость не может быть отрицательной, значит:

\[
x = 6, \quad y = 10 — 6 = 4
\]

Ответ: \(4\) км/ч и \(6\) км/ч.

1) Пусть скорости пешеходов равны \(x\) км/ч и \(y\) км/ч. Половина пути равна 3 км, тогда время прохождения половины пути первым пешеходом равно \(\frac{3}{x}\) часов, а вторым — \(\frac{3}{y}\) часов.

2) Из условия известно, что расстояние между сёлами 6 км, и оба пешехода вместе проходят весь путь за 36 минут, то есть 0.6 часа. Значит, сумма скоростей равна \(x + y\), и выполняется равенство \(0.6(x + y) = 6\), откуда \(x + y = 10\).

3) Второй пешеход вышел на 15 минут позже первого, то есть на \(\frac{15}{60} = \frac{1}{4}\) часа позже. Они встретились на середине пути, значит разница во времени прохождения половины пути равна \(\frac{1}{4}\) часа:

\[
\frac{3}{y} — \frac{3}{x} = \frac{1}{4}
\]

4) Подставим \(y = 10 — x\) в уравнение:

\[
\frac{3}{10 — x} — \frac{3}{x} = \frac{1}{4}
\]

5) Умножим обе части уравнения на \(4x(10 — x)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[
4x(10 — x) \left( \frac{3}{10 — x} — \frac{3}{x} \right) = 4x(10 — x) \cdot \frac{1}{4}
\]

6) Раскроем скобки:

\[
3 \cdot 4x — 3 \cdot 4(10 — x) = x(10 — x)
\]

7) Упростим выражение:

\[
12x — 120 + 12x = 10x — x^2
\]

8) Переносим все члены в одну сторону:

\[
24x — 120 = 10x — x^2 \implies x^2 + 14x — 120 = 0
\]

9) Найдём дискриминант:

\[
D = 14^2 + 4 \cdot 120 = 196 + 480 = 676
\]

10) Найдём корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{-14 — 26}{2} = -20, \quad x_2 = \frac{-14 + 26}{2} = 6
\]

11) Скорость не может быть отрицательной, значит \(x = 6\), тогда \(y = 10 — 6 = 4\).

Ответ: \(4\) км/ч и \(6\) км/ч.