ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 142 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Если открыть одновременно две трубы, то бассейн будет наполнен водой за 8 ч. Если сначала через первую трубу наполнить половину бассейна, а потом через вторую трубу — оставшуюся часть бассейна, то весь бассейн будет наполнен за 18 ч. За сколько часов можно наполнить бассейн через каждую трубу?

Пусть \( x \) и \( y \) — время в часах, за которое первая и вторая труба наполняют бассейн по одному.

Производительность первой трубы \( \frac{1}{x} \), второй — \( \frac{1}{y} \).

Вместе трубы наполняют бассейн за 8 часов, значит

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}\).

Если сначала первая труба наполняет половину бассейна, а потом вторая — вторую половину, и на это уходит 18 часов, то

\(\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 18\),

откуда \( x + y = 36 \).

Подставим \( y = 36 — x \) в первое уравнение:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{36 — x} = \frac{1}{8}.
\]

Домножим на \( 8x(36 — x) \):

\[
8(36 — x) + 8x = x(36 — x).
\]

Раскроем скобки:

\[
288 — 8x + 8x = 36x — x^2,
\]

упрощаем:

\[
288 = 36x — x^2,
\]

переносим в одну сторону:

\[
x^2 — 36x + 288 = 0.
\]

Дискриминант:

\[
D = 36^2 — 4 \cdot 1 \cdot 288 = 1296 — 1152 = 144.
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{36 — 12}{2} = 12, \quad x_2 = \frac{36 + 12}{2} = 24.
\]

Тогда

\[
y_1 = 36 — 12 = 24, \quad y_2 = 36 — 24 = 12.
\]

Ответ: первая труба — 12 часов, вторая — 24 часа.

1. Пусть \( x \) и \( y \) — время в часах, за которое первая и вторая труба наполняют бассейн по одному. Тогда производительность первой трубы равна \( \frac{1}{x} \), а второй — \( \frac{1}{y} \).

2. Из условия известно, что вместе обе трубы наполняют бассейн за 8 часов, значит их суммарная производительность равна \( \frac{1}{8} \). Запишем уравнение: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8} \).

3. Также сказано, что если сначала наполнить половину бассейна первой трубой, а потом вторую половину — второй трубой, то на это уйдет 18 часов. Значит время наполнения половин бассейна первой и второй трубами соответственно равно \( \frac{x}{2} \) и \( \frac{y}{2} \). Составим уравнение: \( \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 18 \).

4. Упростим уравнение из пункта 3: \( \frac{x + y}{2} = 18 \), отсюда \( x + y = 36 \).

5. Из уравнения \( x + y = 36 \) выразим \( y \): \( y = 36 — x \).

6. Подставим выражение для \( y \) в уравнение из пункта 2: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{36 — x} = \frac{1}{8} \).

7. Приведём левую часть к общему знаменателю и умножим всё уравнение на \( 8x(36 — x) \), чтобы избавиться от дробей:

\( 8(36 — x) + 8x = x(36 — x) \).

8. Раскроем скобки и упростим:

\( 288 — 8x + 8x = 36x — x^2 \),

что даёт

\( 288 = 36x — x^2 \).

9. Переносим все члены в одну сторону:

\( x^2 — 36x + 288 = 0 \).

10. Найдём дискриминант:

\( D = (-36)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 288 = 1296 — 1152 = 144 \).

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{36 — 12}{2} = 12 \),

\( x_2 = \frac{36 + 12}{2} = 24 \).

Тогда

\( y_1 = 36 — 12 = 24 \),

\( y_2 = 36 — 24 = 12 \).

Ответ: первая труба наполняет бассейн за 12 часов, вторая — за 24 часа.