ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 143 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Из села А в село В, расстояние между которыми равно 20 км, вышел пешеход. Через 2 ч из села А в том же направлении со скоростью 15 км/ч выехал велосипедист, который догнал пешехода, передал ему пакет и поехал в село А с той же скоростью. Пешеход пришёл в В, а велосипедист вернулся в А одновременно. Найдите скорость пешехода.

Пусть \(x\) км/ч — скорость пешехода, \(t\) ч — время встречи.

Пешеход прошёл до встречи \(xt\) км, велосипедист проехал до встречи \(15(t-2)\) км.

Общее расстояние 20 км, поэтому после встречи:

— Пешеход прошёл \(20 — xt\) км за \(\frac{20 — xt}{x}\) часов.
— Велосипедист вернулся назад за \(t — 2\) часов.

Так как они пришли одновременно, то

\[
t — 2 = \frac{20 — xt}{x}
\]

и

\[
xt = 15(t — 2)
\]

Решая систему:

\[
x = \frac{15t — 30}{t}
\]

Подставляем в уравнение времени:

\(t — 2 = \frac{20 — x t}{x} = \frac{20 — (15t — 30)}{\frac{15t — 30}{t}} = \frac{20 — 15t + 30}{\frac{15t — 30}{t}} = \frac{50 — 15t}{\frac{15t — 30}{t}}=\)
\( = \frac{(50 — 15t) t}{15t — 30}\)

Упрощаем и решаем квадратное уравнение, получаем \(t = 3\).

Тогда

\[
x = \frac{15 \cdot 3 — 30}{3} = \frac{45 — 30}{3} = \frac{15}{3} = 5
\]

Ответ: скорость пешехода \(5\) км/ч.

1) Пусть \(x\) км/ч — скорость пешехода, \(t\) ч — время встречи. Пешеход прошёл до встречи \(xt\) км. Велосипедист проехал до встречи \(15(t-2)\) км. Время, которое велосипедист затратил на обратный путь, равно \(t-2\) ч. Время, которое пешеход затратил на оставшийся путь, равно \(\frac{20 — xt}{x}\) ч.

2) Велосипедист и пешеход прибыли одновременно, значит:

\[
\begin{cases}
xt = 15(t — 2) \\
t — 2 = \frac{20 — xt}{x}
\end{cases}
\]

Из первого уравнения выразим \(x\):

\[
x = \frac{15(t — 2)}{t} = \frac{15t — 30}{t}
\]

Подставим \(x\) во второе уравнение:

\[
t — 2 = \frac{20 — x t}{x} = \frac{20 — (15t — 30)}{\frac{15t — 30}{t}} = \frac{50 — 15t}{\frac{15t — 30}{t}} = \frac{(50 — 15t) t}{15t — 30}
\]

3) Умножим обе части уравнения на \(15t — 30\):

\[
(t — 2)(15t — 30) = (50 — 15t) t
\]

Раскроем скобки:

\[
15t^2 — 30t — 30t + 60 = 50t — 15t^2
\]

Упростим:

\[
15t^2 — 60t + 60 = 50t — 15t^2
\]

Перенесём все слагаемые в одну сторону:

\[
15t^2 — 60t + 60 — 50t + 15t^2 = 0
\]

\[
30t^2 — 110t + 60 = 0
\]

Разделим уравнение на 2:

\[
15t^2 — 55t + 30 = 0
\]

4) Найдём дискриминант:

\[
D = (-55)^2 — 4 \cdot 15 \cdot 30 = 3025 — 1800 = 1225
\]

Корни уравнения:

\[
t_1 = \frac{55 — \sqrt{1225}}{2 \cdot 15} = \frac{55 — 35}{30} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}
\]

\[
t_2 = \frac{55 + \sqrt{1225}}{2 \cdot 15} = \frac{55 + 35}{30} = \frac{90}{30} = 3
\]

5) Подставим корни в выражение для \(x\):

\[
x_1 = \frac{15 \cdot \frac{2}{3} — 30}{\frac{2}{3}} = \frac{10 — 30}{\frac{2}{3}} = \frac{-20}{\frac{2}{3}} = -30
\]

\[
x_2 = \frac{15 \cdot 3 — 30}{3} = \frac{45 — 30}{3} = \frac{15}{3} = 5
\]

6) Скорость не может быть отрицательной, значит \(t = 3\) и \(x = 5\) км/ч.

Ответ: 5 км/ч.