ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 144 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Из двух сёл, расстояние между которыми равно 9 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Один из них пришёл во второе село через 1 ч 21 мин после встречи, а другой в первое село — через 36 мин после встречи. Найдите, с какой скоростью двигался каждый пешеход и через какое время после начала движения состоялась их встреча.

Пусть скорости пешеходов \(x\) и \(y\) км/ч, время до встречи \(t\) ч.

До встречи:
\(tx\) и \(ty\) — пройденные расстояния первым и вторым пешеходами.
После встречи:
\(\frac{81}{60}x = \frac{27}{20}x\) и \(\frac{36}{60}y = \frac{3}{5}y\) — расстояния после встречи.

Система:
\[
\begin{cases}
tx + ty = 9 \\
\frac{27}{20}x = ty \\
\frac{3}{5}y = tx
\end{cases}
\]

Разделим третье уравнение на второе:
\(\frac{\frac{3}{5}y}{\frac{27}{20}x} = \frac{tx}{ty} \Rightarrow \frac{4y}{9x} = \frac{x}{y} \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{2}{3}\).

Подставим \(y = \frac{3}{2}x\) в первое уравнение:
\(tx + t \cdot \frac{3}{2}x = 9 \Rightarrow \frac{5}{2} t x = 9 \Rightarrow t x = \frac{18}{5}\).

Подставим \(t x\) в третье уравнение:
\(\frac{12}{20} y = \frac{18}{5} \Rightarrow y = 6\), тогда \(x = 4\).

Время встречи:
\(t = \frac{t x}{x} = \frac{18/5}{4} = \frac{18}{20} = \frac{54}{60}\) часа = 54 минуты.

Ответ: скорости 4 км/ч и 6 км/ч, встреча через 54 минуты.

1) Пусть \(x\) км/ч и \(y\) км/ч — скорости первого и второго пешехода, \(t\) ч — время до встречи. Тогда расстояния до встречи:
\(tx\) км — первый пешеход,
\(ty\) км — второй пешеход.
После встречи первый пешеход прошёл \(\frac{81}{60}x = \frac{27}{20}x\) км, второй — \(\frac{36}{60}y = \frac{3}{5}y\) км.

2) Расстояние между селами 9 км, значит:
\(tx + ty = 9\),
\(\frac{27}{20}x = ty\),
\(\frac{3}{5}y = tx\).

3) Разделим третье уравнение на второе:
\(\frac{\frac{3}{5}y}{\frac{27}{20}x} = \frac{tx}{ty} \Rightarrow \frac{3}{5}y \cdot \frac{20}{27x} = \frac{x}{y}\),
упростим:
\(\frac{4y}{9x} = \frac{x}{y}\),
умножим обе части на \(9x y\):
\(4 y^2 = 9 x^2\),
\(\frac{x}{y} = \frac{2}{3}\).

4) Подставим \(y = \frac{3}{2} x\) в первое уравнение:
\(tx + t \cdot \frac{3}{2} x = 9\),
\(t x \left(1 + \frac{3}{2}\right) = 9\),
\(t x \cdot \frac{5}{2} = 9\),
\(t x = \frac{18}{5}\).

5) Подставим \(t x\) в третье уравнение:
\(\frac{3}{5} y = t x = \frac{18}{5}\),
\(y = \frac{18}{5} \cdot \frac{5}{3} = 6\).

6) Тогда \(x = \frac{2}{3} y = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4\).

7) Найдём время встречи:
\(t = \frac{t x}{x} = \frac{18/5}{4} = \frac{18}{20} = \frac{54}{60}\) часа,
то есть 54 минуты.

Ответ: 4 км/ч; 6 км/ч; 54 минуты.