ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 145 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Одновременно из одного города в одном направлении выехали два мотоциклиста: первый со скоростью 80 км/ч, а второй — 60 км/ч. Через полчаса из этого города в этом же направлении выехал третий мотоциклист. Найдите скорость третьего мотоциклиста, если известно, что он догнал первого мотоциклиста через 1 ч 15 мин после того, как догнал второго.

Пусть \( x \) км/ч — скорость третьего мотоциклиста, \( t \) ч — время, через которое он догнал второго мотоциклиста.

Тогда:
— третий мотоциклист прошёл до встречи со вторым \( tx \) км,
— второй мотоциклист прошёл \( 60(t + 0{,}5) \) км,
— третий мотоциклист прошёл до встречи с первым \( x\left(t + 1 + \frac{15}{60}\right) = x\left(t + 1{,}25\right) \) км,
— первый мотоциклист прошёл \( 80\left(t + 1{,}25 + 0{,}5\right) = 80(t + 1{,}75) \) км.

Составляем систему уравнений:

\(\begin{cases}
tx = 60(t + 0{,}5) \\
x(t + 1{,}25) = 80(t + 1{,}75)
\end{cases}\)

Из первого: \( tx = 60t + 30 \).

Подставим в второе:

\((60t + 30) \frac{t + 1{,}25}{t} = 80(t + 1{,}75) \).

Решая систему, получаем уравнение:

\(8t^2 + 14t — 15 = 0\).

Дискриминант:

\(D = 14^2 + 4 \cdot 8 \cdot 15 = 196 + 480 = 676\).

Корни:

\(t_1 = \frac{-14 — 26}{16} = -2{,}5\) (отрицательный, не подходит),

\(t_2 = \frac{-14 + 26}{16} = \frac{12}{16} = 0{,}75\) ч.

Скорость третьего:

\(x = \frac{60t + 30}{t} = \frac{60 \cdot 0{,}75 + 30}{0{,}75} = \frac{45 + 30}{0{,}75} = \frac{75}{0{,}75} = 100\) км/ч.

Ответ: скорость третьего мотоциклиста \(100\) км/ч.

1) Пусть \( x \) км/ч — скорость третьего мотоциклиста, а \( t \) ч — время, через которое он догнал второго мотоциклиста после выезда.

Проходы мотоциклистов до встреч:

— третий мотоциклист прошёл до встречи со вторым \( tx \) км;

— второй мотоциклист прошёл \( 60(t + 0{,}5) \) км;

— третий мотоциклист прошёл до встречи с первым \( x\left(t + 1 + \frac{15}{60}\right) = x\left(t + 1{,}25\right) \) км;

— первый мотоциклист прошёл \( 80\left(t + 1{,}25 + 0{,}5\right) = 80(t + 1{,}75) \) км.

2) Составим систему уравнений по условиям равенства пройденных расстояний на встречах:

\(\begin{cases}
tx = 60(t + 0{,}5) \\
x\left(t + 1{,}25\right) = 80(t + 1{,}75)
\end{cases}\)

Раскроем первое уравнение:

\( tx = 60t + 30 \).

3) Подставим выражение \( tx = 60t + 30 \) во второе уравнение:

\( x\left(t + 1{,}25\right) = 80(t + 1{,}75) \).

Разделим левую часть на \( t \):

\( \frac{tx}{t} (t + 1{,}25) = x(t + 1{,}25) \), то есть

\( (60t + 30) \frac{t + 1{,}25}{t} = 80(t + 1{,}75) \).

Раскроем скобки:

\( (60t + 30)(t + 1{,}25) = 80t(t + 1{,}75) \).

4) Упростим уравнение:

\( 60t^2 + 75t + 30t + 37{,}5 = 80t^2 + 140t \).

Объединим подобные члены:

\( 60t^2 + 105t + 37{,}5 = 80t^2 + 140t \).

Перенесём все в левую часть:

\( 60t^2 + 105t + 37{,}5 — 80t^2 — 140t = 0 \),

что даёт

\( -20t^2 — 35t + 37{,}5 = 0 \).

Умножим на -1 для удобства:

\( 20t^2 + 35t — 37{,}5 = 0 \).

Разделим на 2, чтобы упростить:

\( 10t^2 + 17{,}5t — 18{,}75 = 0 \).

5) Решим квадратное уравнение по формуле:

Дискриминант

\( D = (17{,}5)^2 — 4 \cdot 10 \cdot (-18{,}75) = 306{,}25 + 750 = 1056{,}25 \).

Корни:

\( t = \frac{-17{,}5 \pm \sqrt{1056{,}25}}{2 \cdot 10} \).

\( \sqrt{1056{,}25} = 32{,}5 \).

Тогда

\( t_1 = \frac{-17{,}5 — 32{,}5}{20} = \frac{-50}{20} = -2{,}5 \) (отрицательный, не подходит),

\( t_2 = \frac{-17{,}5 + 32{,}5}{20} = \frac{15}{20} = 0{,}75 \) ч.

6) Время не может быть отрицательным, значит \( t = 0{,}75 \) ч.

7) Найдём скорость \( x \):

\( tx = 60(t + 0{,}5) \Rightarrow x = \frac{60(t + 0{,}5)}{t} = \frac{60(0{,}75 + 0{,}5)}{0{,}75} = \frac{60 \cdot 1{,}25}{0{,}75} = \frac{75}{0{,}75} = 100 \) км/ч.

Ответ: 100 км/ч.