ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 146 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Две точки движутся по окружности в одном направлении. Первая точка проходит окружность на 2 с быстрее второй и догоняет её через каждые 12 с. За какое время каждая точка проходит окружность?

Пусть скорости точек \(x\) и \(y\) град/с, тогда время прохождения окружности первой точки \(\frac{360}{x}\), второй — \(\frac{360}{y}\).

Первая точка проходит окружность на 2 секунды быстрее:

\(\frac{360}{y} — \frac{360}{x} = 2\).

Первая точка догоняет вторую через каждые 12 секунд, значит:

\(\frac{180}{y} — \frac{180}{x} = 1\).

Отсюда:

\(x — y = 30\).

Подставляя \(y = x — 30\) в уравнение:

\(\frac{360}{x-30} — \frac{360}{x} = 2\),

получаем квадратное уравнение:

\(x^2 — 30x — 5400 = 0\).

Решая, находим \(x = 90\) (скорость не может быть отрицательной), тогда

\(y = 60\).

Время прохождения окружности:

\(\frac{360}{90} = 4\) секунды, \(\frac{360}{60} = 6\) секунд.

Ответ: 4 секунды; 6 секунд.

1) Пусть \(x\) град/с и \(y\) град/с — угловые скорости первой и второй точек соответственно. Тогда время прохождения окружности первой точкой равно \(\frac{360}{x}\) секунд, а второй — \(\frac{360}{y}\) секунд.

2) По условию первая точка проходит окружность на 2 секунды быстрее второй, значит:
\(\frac{360}{y} — \frac{360}{x} = 2\).

3) Первая точка догоняет вторую через каждые 12 секунд, значит разница путей за 12 секунд равна одной полной окружности:
\(\frac{180}{y} — \frac{180}{x} = 1\).

4) Упростим уравнение:
\(\frac{180}{y} — \frac{180}{x} = 1 \Rightarrow \frac{180(x — y)}{xy} = 1\).

5) Из этого следует:
\(x — y = \frac{xy}{180}\).

6) Поделим первое уравнение на 180:
\(\frac{2}{x} — \frac{2}{y} = \frac{1}{90}\), или преобразуем исходное уравнение:
\(\frac{360}{y} — \frac{360}{x} = 2 \Rightarrow \frac{360(x — y)}{xy} = 2\).

7) Сравнивая уравнения, получаем систему:
\[
\begin{cases}
\frac{360(x — y)}{xy} = 2 \\
\frac{180(x — y)}{xy} = 1
\end{cases}
\]

8) Из второго уравнения:
\(x — y = \frac{xy}{180}\).

9) Подставим \(y = x — 30\) (из уравнения \(x — y = 30\)) в уравнение:
\(\frac{360}{x — 30} — \frac{360}{x} = 2\).

10) Умножим обе части на \(x(x — 30)\):
\(360x — 360(x — 30) = 2x(x — 30)\),
что даёт
\(360x — 360x + 10800 = 2x^2 — 60x\),
то есть
\(10800 = 2x^2 — 60x\).

11) Переносим все в левую часть:
\(2x^2 — 60x — 10800 = 0\).

12) Делим на 2:
\(x^2 — 30x — 5400 = 0\).

13) Находим дискриминант:
\(D = (-30)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5400) = 900 + 21600 = 22500\).

14) Корни:
\(x_1 = \frac{30 — 150}{2} = -60\),
\(x_2 = \frac{30 + 150}{2} = 90\).

15) Скорость не может быть отрицательной, значит \(x = 90\) град/с, тогда
\(y = 90 — 30 = 60\) град/с.

16) Время прохождения окружности:
\(\frac{360}{90} = 4\) секунды,
\(\frac{360}{60} = 6\) секунд.

Ответ: 4 секунды; 6 секунд.