ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 147 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Дорога между сёлами А и В сначала идёт вверх, а затем спускается. Пешеход на путь из А в В тратит 4 ч, а на обратный путь — 4 ч 20 мин. На подъёме он движется на 1 км/ч медленнее, чем на спуске. С какой скоростью пешеход идёт вверх и с какой — с горы, если расстояние между сёлами А и В равно 10 км?

Пусть скорость пешехода на спуске \(x\) км/ч, тогда скорость на подъёме \(x — 1\) км/ч. Длина дороги на спуске \(y\) км, на подъёме \(10 — y\) км.

Время в пути из А в В: \(\frac{y}{x} + \frac{10 — y}{x — 1} = 4\)
Время в пути обратно: \(\frac{10 — y}{x} + \frac{y}{x — 1} = 4 + \frac{20}{60} = \frac{13}{3}\)

Складываем уравнения:
\(\frac{y}{x} + \frac{10 — y}{x — 1} + \frac{10 — y}{x} + \frac{y}{x — 1} = 4 + \frac{13}{3}\)

Упрощаем:
\(\frac{10}{x} + \frac{10}{x — 1} = \frac{25}{3}\)

Домножаем на \(3x(x-1)\):
\(30(x — 1) + 30x = 25x(x — 1)\)

Раскрываем скобки:
\(30x — 30 + 30x = 25x^2 — 25x\)

Собираем в квадратное уравнение:
\(25x^2 — 85x + 30 = 0\)

Дискриминант:
\(D = (-85)^2 — 4 \cdot 25 \cdot 30 = 7225 — 3000 = 4225\)

Корни:
\(x_1 = \frac{85 — 65}{50} = \frac{20}{50} = 0.4\) (отрицательная скорость на подъёме)
\(x_2 = \frac{85 + 65}{50} = \frac{150}{50} = 3\)

Скорость на подъёме: \(x — 1 = 2\) км/ч
Скорость на спуске: \(x = 3\) км/ч

Ответ: скорость подъёма 2 км/ч, скорость спуска 3 км/ч.

1) Пусть \(x\) км/ч — скорость пешехода на спуск, а \(y\) км — длина дороги на спуск (из пункта А в пункт В). Тогда скорость пешехода на подъём будет \(x — 1\) км/ч, а длина дороги на подъём \(10 — y\) км.

Время, потраченное на спуск, равно \(\frac{y}{x}\), а на подъём — \(\frac{10 — y}{x — 1}\).

2) Из условия известно, что на путь из А в В пешеход тратит 4 часа, а на обратный путь — 4 часа 20 минут, то есть \(\frac{13}{3}\) часа. Значит, составляем систему уравнений:

\[
\begin{cases}
\frac{y}{x} + \frac{10 — y}{x — 1} = 4 \\
\frac{10 — y}{x} + \frac{y}{x — 1} = \frac{13}{3}
\end{cases}
\]

3) Складываем первое и второе уравнение:

\[
\frac{y}{x} + \frac{10 — y}{x — 1} + \frac{10 — y}{x} + \frac{y}{x — 1} = 4 + \frac{13}{3}
\]

Объединяем подобные слагаемые:

\[
\frac{y}{x} + \frac{10 — y}{x} + \frac{10 — y}{x — 1} + \frac{y}{x — 1} = \frac{10}{x} + \frac{10}{x — 1} = \frac{25}{3}
\]

4) Домножим уравнение на \(3x(x — 1)\):

\[
3x(x — 1) \cdot \left(\frac{10}{x} + \frac{10}{x — 1}\right) = 3x(x — 1) \cdot \frac{25}{3}
\]

Раскрываем скобки:

\[
30(x — 1) + 30x = 25x(x — 1)
\]

Раскрываем скобки слева и справа:

\[
30x — 30 + 30x = 25x^2 — 25x
\]

Собираем все в одно уравнение:

\[
25x^2 — 85x + 30 = 0
\]

5) Делим уравнение на 5 для упрощения:

\[
5x^2 — 17x + 6 = 0
\]

Вычисляем дискриминант:

\[
D = (-17)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 6 = 289 — 120 = 169
\]

6) Находим корни квадратного уравнения по формуле:

\[
x_{1,2} = \frac{17 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{17 \pm 13}{10}
\]

Получаем:

\[
x_1 = \frac{17 — 13}{10} = \frac{4}{10} = 0.4
\]

\[
x_2 = \frac{17 + 13}{10} = \frac{30}{10} = 3
\]

7) Скорость на подъём равна \(x — 1\):

\[
x_1 — 1 = 0.4 — 1 = -0.6 \quad (\text{отрицательная, не подходит})
\]

\[
x_2 — 1 = 3 — 1 = 2
\]

8) Скорость движения не может быть отрицательной, значит:

\[
x = 3 \text{ км/ч (спуск)}, \quad x — 1 = 2 \text{ км/ч (подъём)}
\]

9) Ответ: скорость подъёма 2 км/ч, скорость спуска 3 км/ч.