ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 153 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Вкладчик положил в банк 60 000 р. За первый год ему начислили деньги по установленной процентной ставке, а в следующем году банковский процент был увеличен на 2 %. В конце второго года на счёте оказалось 66 144 р. Сколько процентов составляла банковская ставка в первый год?

Пусть \(x\%\) — ставка первого года, тогда ставка второго года \( (x+2)\% \).

Изначальная сумма: 60000 рублей.

После первого года сумма увеличится в \( \frac{100+x}{100} \) раз, после второго — в \( \frac{100+(x+2)}{100} \) раз.

Итог:
\[
66144 = 60000 \cdot \frac{100+x}{100} \cdot \frac{100+(x+2)}{100}
\]

Умножим и упростим:
\[
66144 = 60000 \cdot \frac{(100+x)(102+x)}{10000} = 6 \cdot (x^2 + 202x + 10200)
\]

\[
66144 = 6x^2 + 1212x + 61200
\]

\[
66144 — 61200 = 6x^2 + 1212x
\]

\[
4944 = 6x^2 + 1212x
\]

Разделим на 6:
\[
824 = x^2 + 202x
\]

Переносим в уравнение:
\[
x^2 + 202x — 824 = 0
\]

Дискриминант:
\[
D = 202^2 + 4 \cdot 824 = 40804 + 3296 = 44100
\]

Корни:
\[
x_1 = \frac{-202 — 210}{2} = -206, \quad x_2 = \frac{-202 + 210}{2} = 4
\]

Процентная ставка не может быть отрицательной, значит \(x = 4\%\).

Ответ: 4%.

1) Пусть \(x\%\) — процентная ставка в первый год, тогда процентная ставка во второй год будет \( (x+2)\%\).

2) Во сколько раз увеличилась сумма за первый год, можно выразить как \( \frac{100 + x}{100} \).

3) Во сколько раз увеличилась сумма за второй год, можно выразить как \( \frac{100 + (x+2)}{100} \).

4) Вкладчик вложил 60000 рублей и получил 66144 рубля, значит выполняется равенство:
\[
66144 = 60000 \cdot \frac{100 + x}{100} \cdot \frac{100 + (x+2)}{100}
\]

5) Умножим числители и знаменатели:
\[
66144 = 60000 \cdot \frac{(100 + x)(102 + x)}{10000}
\]

6) Раскроем скобки в числителе:
\((100 + x)(102 + x) = 100 \cdot 102 + 100 \cdot x + 102 \cdot x + x^2 = 10200 + 202x + x^2\)

7) Подставим обратно:
\[
66144 = 60000 \cdot \frac{10200 + 202x + x^2}{10000} = 6 \cdot (10200 + 202x + x^2)
\]

8) Раскроем скобки:
\[
66144 = 6 \cdot 10200 + 6 \cdot 202x + 6 \cdot x^2 = 61200 + 1212x + 6x^2
\]

9) Переносим все в одну сторону уравнения:
\[
66144 — 61200 = 1212x + 6x^2
\]
\[
4944 = 1212x + 6x^2
\]

10) Разделим на 6:
\[
824 = 202x + x^2
\]
или
\[
x^2 + 202x — 824 = 0
\]

11) Найдём дискриминант:
\[
D = 202^2 + 4 \cdot 824 = 40804 + 3296 = 44100
\]

12) Найдём корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{-202 — 210}{2} = \frac{-412}{2} = -206, \quad x_2 = \frac{-202 + 210}{2} = \frac{8}{2} = 4
\]

13) Процентная ставка не может быть отрицательной, значит:
\[
x = 4\%
\]

Ответ: 4%.