Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 165 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Рассматриваются пятизначные числа, в записи которых дважды присутствует цифра 3 и по одному разу каждая из цифр 1, 2 и 4. Сколько существует таких чисел?
Классическое определение вероятности
У нас есть цифры 3, 3, 1, 2 и 4. Нужно узнать, сколько можно составить чисел из этих цифр. Сначала выбираем места для двух троек. Это можно сделать \( C_{5}^{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10 \) способами.
Остались три места для цифр 1, 2 и 4. Эти цифры все разные, значит их можно переставить между собой \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \) способами.
Всего чисел будет \( 10 \times 6 = 60 \). Это и есть искомое количество чисел, в которых цифра 3 встречается ровно два раза, а цифры 1, 2 и 4 — по одному разу.
В задаче требуется найти количество пятизначных чисел, в которых цифра 3 встречается ровно два раза, а цифры 1, 2 и 4 — по одному разу. Для начала рассмотрим, что такое пятизначное число с заданными условиями. Пятизначное число состоит из пяти позиций, на каждую из которых можно поставить цифру. В нашем случае цифры фиксированы: две тройки и по одной каждой из цифр 1, 2 и 4. Значит, всего у нас есть 5 цифр: 3, 3, 1, 2, 4. Необходимо определить, сколько различных перестановок этих цифр существует, учитывая, что две цифры 3 одинаковы.
Первым шагом выберем позиции для цифр 3. Поскольку 3 встречается дважды, нам нужно выбрать 2 позиции из 5 для размещения этих цифр. Количество способов выбрать 2 позиции из 5 вычисляется с помощью сочетаний и равно \( C_{5}^{2} \). По формуле сочетаний \( C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \), получаем \( C_{5}^{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10 \). Это значит, что существует 10 способов выбрать места для двух троек.
После того как позиции для двоих троек выбраны, остаётся 3 свободных позиции, которые нужно заполнить цифрами 1, 2 и 4. Поскольку эти цифры все разные, количество способов их перестановки равно количеству всех перестановок из трёх различных элементов — это \( 3! \), что равно \( 3 \times 2 \times 1 = 6 \). Таким образом, для каждой из 10 расстановок двоих троек существует 6 вариантов расположения цифр 1, 2 и 4 на оставшихся позициях.
Общее количество различных пятизначных чисел, удовлетворяющих условию, равно произведению количества способов выбрать позиции для троек и количества способов переставить оставшиеся цифры. То есть \( A = C_{5}^{2} \times 3! = 10 \times 6 = 60 \). Это и есть искомое количество чисел, в которых цифра 3 встречается ровно два раза, а цифры 1, 2 и 4 — по одному разу.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.