ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 18 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Какие из чисел -5; 4; -6; 0; \(\frac{1}{3}\) являются решениями неравенства:

1) \(x > \frac{1}{3}\);

2) \(x \leq 4\);

3) \(2x > x + 1\);

4) \(x^2 — 4 \leq 0\);

5) \(\sqrt{x + 1} > 2\);

6) \(\frac{1}{x} < 27\).

1) \(x > \frac{1}{3}\);

Ответ: 4.

2) \(x \leq 4\);

Ответ: \(-6; -5; 0; \frac{1}{3}; 4\).

3) \(2x > x + 1;\)

\(2x — x > 1;\)

\(x > 1;\)

Ответ: 4.

4) \(x^2 — 4 \leq 0;\)

\((x + 2)(x — 2) \leq 0;\)

\(-2 \leq x \leq 2;\)

Ответ: 0; \(\frac{1}{3}\).

5) \(\sqrt{x + 1} > 2;\)

\((\sqrt{x + 1})^2 > 2^2;\)

\(x + 1 > 4;\)

\(x > 4 — 1;\)

\(x > 3;\)

Ответ: 4.

6) \(\frac{1}{x} < 2;\)

\(\frac{1}{x} — 2 < 0;\)

\(\frac{1 — 2x}{x} < 0;\)

\(x(1 — 2x) < 0;\)

\(x(2x — 1) > 0;\)

\(x < 0\) и \(x > 0.5;\)

Ответ: \(-6; -5; 4\).

1) Неравенство \(x > \frac{1}{3}\) означает, что переменная \(x\) должна принимать значения строго больше числа \(\frac{1}{3}\). Это значит, что все числа, которые расположены на числовой оси правее точки \(\frac{1}{3}\), удовлетворяют условию. Например, числа 1, 2, 4 и так далее подходят. В условии дан ответ 4, что указывает на конкретное значение, которое удовлетворяет этому неравенству.

При решении таких неравенств важно понимать, что знак «>» исключает равенство, то есть \(x\) не может быть равно \(\frac{1}{3}\), а только больше. Если рассмотреть множество решений, то оно будет записываться как \(x \in \left(\frac{1}{3}, +\infty \right)\). В данном случае ответом выбрано конкретное число 4, так как оно явно больше \(\frac{1}{3}\).

Таким образом, решение сводится к выбору любого числа, превышающего \(\frac{1}{3}\). Число 4 удовлетворяет этому условию, и поэтому оно указано в ответе.

2) Неравенство \(x \leq 4\) ограничивает значения \(x\) сверху числом 4, включая его. Это значит, что \(x\) может быть равен 4 или любому числу меньше 4. В ответе перечислены конкретные значения: \(-6; -5; 0; \frac{1}{3}; 4\), которые все лежат в области решения.

Поясним, почему эти значения подходят. Числа \(-6\), \(-5\), 0 и \(\frac{1}{3}\) все меньше или равны 4, следовательно, удовлетворяют неравенству. Важно понимать, что знак «меньше или равно» означает включение граничного значения 4, поэтому 4 также подходит.

Множество решений можно записать как \(x \in (-\infty, 4]\). Перечисленные в ответе числа — это примеры конкретных значений из этого множества, которые выполняют условие.

3) Рассмотрим неравенство \(2x > x + 1\). Для решения сначала перенесём все члены с \(x\) в одну сторону: \(2x — x > 1\), что упрощается до \(x > 1\). Таким образом, \(x\) должно быть строго больше 1.

Это означает, что все числа, расположенные правее 1 на числовой оси, удовлетворяют неравенству. Например, 2, 3, 4 и так далее. В ответе указано число 4, что является конкретным примером решения.

Поясним логику: при вычитании \(x\) из обеих частей мы сохраняем знак неравенства, так как вычитание положительного числа не меняет направление. Итоговое неравенство \(x > 1\) задаёт область решения, а число 4 — конкретное значение из этой области.

4) Неравенство \(x^2 — 4 \leq 0\) требует более детального анализа, так как здесь фигурирует квадратный многочлен. Чтобы решить его, сначала перепишем левую часть в виде произведения: \(x^2 — 4 = (x + 2)(x — 2)\). Теперь неравенство принимает вид \((x + 2)(x — 2) \leq 0\).

Для произведения двух множителей быть меньше или равно нулю, оно должно быть либо равно нулю, либо иметь знак минус. Произведение будет равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, то есть при \(x = -2\) или \(x = 2\). Чтобы понять, на каком промежутке произведение отрицательно, рассмотрим знаки множителей на числовой оси. Между корнями, то есть при \(-2 \leq x \leq 2\), произведение отрицательно или равно нулю.

Таким образом, множество решений — это все числа \(x\), которые лежат между \(-2\) и \(2\) включительно. В ответе указаны конкретные значения 0 и \(\frac{1}{3}\), которые попадают в этот интервал и удовлетворяют неравенству.

5) Неравенство \(\sqrt{x + 1} > 2\) связано с корнем квадратным, что накладывает ограничения на область определения. Подкоренное выражение \(x + 1\) должно быть неотрицательным: \(x + 1 \geq 0\), или \(x \geq -1\). Теперь решим само неравенство.

Возведём обе части в квадрат, учитывая, что обе стороны неотрицательны: \((\sqrt{x + 1})^2 > 2^2\), что упрощается до \(x + 1 > 4\). Отсюда следует, что \(x > 3\).

Таким образом, область решения — все числа, строго больше 3, при этом удовлетворяющие области определения. В ответе указано число 4, которое подходит под оба условия.

6) Рассмотрим неравенство \(\frac{1}{x} < 2\). Здесь важно учитывать, что \(x \neq 0\), так как деление на ноль не определено. Перенесём все члены в одну часть: \(\frac{1}{x} — 2 < 0\).

Приведём к общему знаменателю: \(\frac{1 — 2x}{x} < 0\). Теперь нам нужно определить знаки числителя \(1 — 2x\) и знаменателя \(x\), чтобы дробь была отрицательной.

Дробь отрицательна, если числитель и знаменатель имеют противоположные знаки. Рассмотрим два случая:

— Если \(x > 0\), то знаменатель положителен, значит числитель должен быть отрицателен: \(1 — 2x < 0\), откуда \(x > \frac{1}{2}\).

— Если \(x < 0\), то знаменатель отрицателен, значит числитель должен быть положителен: \(1 — 2x > 0\), что верно для всех \(x\), так как при отрицательных \(x\) \(1 — 2x\) всегда больше нуля.

Итого область решения: \(x < 0\) или \(x > \frac{1}{2}\).

В ответе приведены числа \(-6; -5; 4\), которые принадлежат этим интервалам и удовлетворяют неравенству.