ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 182 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите четыре первых члена последовательности \((a_n)\), если:
1) \(a_1 = -3\), \(a_{n+1} = a_n + 2\);
2) \(a_1 = 16\), \(a_{n+1} = \frac{a_n}{2}\);
3) \(a_1 = -4\), \(a_2 = 3\), \(a_{n+2} = a_n + 2a_{n+1} \cdot i\);
4) \(a_1 = 1\), \(a_2 = 4\), \(a_{n+2} = a_n — a_{n+1}\).

1) \( a_1 = -3 \), \( a_{n+1} = a_n + 2 \)

\( a_2 = -3 + 2 = -1 \)

\( a_3 = -1 + 2 = 1 \)

\( a_4 = 1 + 2 = 3 \)

Ответ: -3; -1; 1; 3.

\( a_1 = 16 \), \( a_{n+1} = \frac{a_n}{2} \)

\( a_2 = \frac{16}{2} = 8 \)

\( a_3 = \frac{8}{2} = 4 \)

\( a_4 = \frac{4}{2} = 2 \)

Ответ: 16; 8; 4; 2.

\( a_1 = -4 \), \( a_2 = 3 \), \( a_{n+2} = a_n + 2a_{n+1} \)

\( a_3 = -4 + 2 \cdot 3 = -4 + 6 = 2 \)

\( a_4 = 3 + 2 \cdot 2 = 3 + 4 = 7 \)

Ответ: -4; 3; 2; 7.

Дано: \(a_1 = 1\), \(a_2 = 4\), \(a_{n+2} = a_n^2 — a_{n+1}\).

Находим третье число:
\(a_3 = a_1^2 — a_2 = 1^2 — 4 = 1 — 4 = -3\).

Находим четвертое число:
\(a_4 = a_2^2 — a_3 = 4^2 — (-3) = 16 + 3 = 19\).

Ответ: \(1; 4; -3; 19\).

Рассмотрим первую последовательность: пусть \( a_1 = -3 \), а каждое следующее число определяется по формуле \( a_{n+1} = a_n + 2 \). Это означает, что к каждому предыдущему члену последовательности мы прибавляем 2. Для нахождения второго члена подставляем \( a_1 \) в формулу: \( a_2 = a_1 + 2 = -3 + 2 = -1 \). Далее, используя уже найденный \( a_2 \), получаем третий член: \( a_3 = a_2 + 2 = -1 + 2 = 1 \). Аналогично находим четвертый член: \( a_4 = a_3 + 2 = 1 + 2 = 3 \). Таким образом, первые четыре члена последовательности: \(-3; -1; 1; 3\). Эта последовательность называется арифметической прогрессией, так как разность между любыми двумя соседними членами постоянна и равна 2.

Перейдём ко второй последовательности: пусть \( a_1 = 16 \), а каждый следующий член равен половине предыдущего, то есть \( a_{n+1} = \frac{a_n}{2} \). Для вычисления второго члена подставляем \( a_1 \) в формулу: \( a_2 = \frac{16}{2} = 8 \). Третий член находим аналогично: \( a_3 = \frac{8}{2} = 4 \). Четвёртый член: \( a_4 = \frac{4}{2} = 2 \). Полученные члены: \( 16; 8; 4; 2 \). Эта последовательность является геометрической прогрессией, где каждый член равен предыдущему, умноженному на коэффициент \( \frac{1}{2} \).

Рассмотрим третью последовательность, где заданы два первых члена: \( a_1 = -4 \), \( a_2 = 3 \), а каждый следующий член выражается через два предыдущих по формуле \( a_{n+2} = a_n + 2a_{n+1} \). Для нахождения третьего члена используем оба первых значения: \( a_3 = a_1 + 2a_2 = -4 + 2 \cdot 3 = -4 + 6 = 2 \). Далее находим четвертый член: \( a_4 = a_2 + 2a_3 = 3 + 2 \cdot 2 = 3 + 4 = 7 \). Таким образом, первые четыре члена этой рекуррентной последовательности: \( -4; 3; 2; 7 \). Здесь каждый новый член зависит от двух предыдущих, что отличает её от арифметической и геометрической прогрессий.

Переходим к последней последовательности, где заданы первые два члена: \( a_1 = 1 \), \( a_2 = 4 \), а формула для вычисления следующего члена выглядит так: \( a_{n+2} = a_n^2 — a_{n+1} \). Для вычисления третьего члена подставляем значения: \( a_3 = a_1^2 — a_2 = 1^2 — 4 = 1 — 4 = -3 \). Четвёртый член вычисляется по аналогии: \( a_4 = a_2^2 — a_3 = 4^2 — (-3) = 16 + 3 = 19 \). Получаем последовательность: \( 1; 4; -3; 19 \). Эта последовательность отличается от предыдущих тем, что формула содержит квадрат первого члена и вычитание второго, что приводит к более сложному характеру её развития.