ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 185 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Подберите одну из возможных формул п-го члена последовательности, первыми членами которой являются числа:
1) 4, 9, 16, 25, 36, … ; 8) 1, -1, 1, -1, 1, … ;
2) \( \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \dots \) ; 4) \( 2, 0, \frac{2}{3}, 0, \frac{2}{5}, 0, \frac{2}{7}, \dots \).

1) \(a_n = (n+1)^2\)
2) \(b_n = \frac{n}{n+1}\)
3) \(c_n = (-1)^{n+1}\)
4) \(d_n = \frac{(-1)^{n+1} + 1}{n}\)

1) Последовательность: 4; 9; 16; 25; 36; …
Это последовательность квадратов целых чисел, начиная с числа 2. Первый член равен \(2^2 = 4\), второй \(3^2 = 9\), третий \(4^2 = 16\) и так далее. Номер члена \(n\) соответствует числу \(n+1\), которое возводится в квадрат.
Формула: \(a_n = (n+1)^2\).

2) Последовательность: \(\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}; \frac{4}{5}; \frac{5}{6}; …\)
Числитель каждого члена равен номеру члена \(n\). Знаменатель на 1 больше числителя, то есть равен \(n+1\).
Формула: \(b_n = \frac{n}{n+1}\).

3) Последовательность: 1; -1; 1; -1; 1; …
Знак членов чередуется: первый положительный, второй отрицательный, и так далее. Модуль каждого члена равен 1.
Формула знака: \((-1)^{n+1}\), так как при \(n=1\) знак положительный.
Формула: \(c_n = (-1)^{n+1}\).

4) Последовательность: 2; 0; \(\frac{2}{3}\); 0; \(\frac{2}{5}\); 0; \(\frac{2}{7}\); …
Члены чередуются: на нечётных местах числа 2, \(\frac{2}{3}\), \(\frac{2}{5}\), \(\frac{2}{7}\) с числителем 2 и знаменателем, равным номеру члена; на чётных местах — ноль.
Можно представить как сумму двух последовательностей:
— Нечётные члены: \(\frac{2}{n}\), где \(n\) — номер члена (нечётный).
— Чётные члены: 0.
Используем формулу с чередующимся знаком:
\(d_n = \frac{(-1)^{n+1} + 1}{n}\).
При нечётных \(n\) \((-1)^{n+1} + 1 = 2\), при чётных — 0, что даёт нужную последовательность.