ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 197 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите первый член и разность арифметической прогрессии \((a_n)\), если:
1) \(a_1 + a_8 = 35\), \(a_{21} = 65\); 2) \(a_5 + a_9 = 42\), \(a_3 \cdot a_{10} = 165\).

1)
\(a_4 + a_8 = 35\), \(a_3 + a_{21} = 65\)
Формулы:
\(a_4 = a_1 + 3d\), \(a_8 = a_1 + 7d\), \(a_3 = a_1 + 2d\), \(a_{21} = a_1 + 20d\)

Из первого уравнения:
\((a_1 + 3d) + (a_1 + 7d) = 35 \Rightarrow 2a_1 + 10d = 35 \Rightarrow a_1 = \frac{35 — 10d}{2}\)

Из второго уравнения:
\((a_1 + 2d) + (a_1 + 20d) = 65 \Rightarrow 2a_1 + 22d = 65\)
Подставляем \(a_1\):
\(2 \cdot \frac{35 — 10d}{2} + 22d = 65 \Rightarrow 35 — 10d + 22d = 65 \Rightarrow 12d = 30 \Rightarrow d = 2.5\)

Тогда:
\(a_1 = \frac{35 — 10 \cdot 2.5}{2} = \frac{35 — 25}{2} = 5\)

Ответ: \(a_1 = 5\), \(d = 2.5\)

2)
\(a_5 + a_9 = 42\), \(a_3 \cdot a_{10} = 165\)
Формулы:
\(a_5 = a_1 + 4d\), \(a_9 = a_1 + 8d\), \(a_3 = a_1 + 2d\), \(a_{10} = a_1 + 9d\)

Из первого уравнения:
\((a_1 + 4d) + (a_1 + 8d) = 42 \Rightarrow 2a_1 + 12d = 42 \Rightarrow a_1 = 21 — 6d\)

Из второго уравнения:
\((a_1 + 2d)(a_1 + 9d) = 165\)
Подставляем \(a_1\):
\((21 — 6d + 2d)(21 — 6d + 9d) = 165 \Rightarrow (21 — 4d)(21 + 3d) = 165\)
Раскрываем скобки:
\(441 + 63d — 84d — 12d^2 = 165 \Rightarrow -12d^2 — 21d + 441 = 165\)
Переносим:
\(-12d^2 — 21d + 276 = 0 \Rightarrow 12d^2 + 21d — 276 = 0\)
Делим на 3:
\(4d^2 + 7d — 92 = 0\)
Дискриминант:
\(D = 7^2 + 4 \cdot 4 \cdot 92 = 49 + 1472 = 1521\)
Корни:
\(d_1 = \frac{-7 — 39}{8} = -5.75\),
\(d_2 = \frac{-7 + 39}{8} = 4\)

Для \(d_1 = -5.75\):
\(a_1 = 21 — 6 \cdot (-5.75) = 21 + 34.5 = 55.5\)

Для \(d_2 = 4\):
\(a_1 = 21 — 6 \cdot 4 = 21 — 24 = -3\)

Ответ: \(a_1 = 55.5\), \(d = -5.75\) или \(a_1 = -3\), \(d = 4\)

1)
Дано: \(a_4 + a_8 = 35\), \(a_3 + a_{21} = 65\).

Формулы членов арифметической прогрессии:
\(a_4 = a_1 + 3d\),
\(a_8 = a_1 + 7d\),
\(a_3 = a_1 + 2d\),
\(a_{21} = a_1 + 20d\).

Из первого уравнения:
\((a_1 + 3d) + (a_1 + 7d) = 35\),
\(2a_1 + 10d = 35\),
\(2a_1 = 35 — 10d\),
\(a_1 = \frac{35 — 10d}{2}\).

Из второго уравнения:
\((a_1 + 2d) + (a_1 + 20d) = 65\),
\(2a_1 + 22d = 65\).

Подставим \(a_1\) из первого уравнения:
\(2 \cdot \frac{35 — 10d}{2} + 22d = 65\),
\(35 — 10d + 22d = 65\),
\(12d = 30\),
\(d = 2.5\).

Подставим \(d\) в формулу для \(a_1\):
\(a_1 = \frac{35 — 10 \cdot 2.5}{2} = \frac{35 — 25}{2} = \frac{10}{2} = 5\).

Ответ: \(a_1 = 5\), \(d = 2.5\).

2)
Дано: \(a_5 + a_9 = 42\), \(a_3 \cdot a_{10} = 165\).

Формулы членов:
\(a_5 = a_1 + 4d\),
\(a_9 = a_1 + 8d\),
\(a_3 = a_1 + 2d\),
\(a_{10} = a_1 + 9d\).

Из первого уравнения:
\((a_1 + 4d) + (a_1 + 8d) = 42\),
\(2a_1 + 12d = 42\),
\(2a_1 = 42 — 12d\),
\(a_1 = 21 — 6d\).

Из второго уравнения:
\((a_1 + 2d)(a_1 + 9d) = 165\).

Подставим \(a_1\):
\((21 — 6d + 2d)(21 — 6d + 9d) = 165\),
\((21 — 4d)(21 + 3d) = 165\).

Раскроем скобки:
\(441 + 63d — 84d — 12d^2 = 165\),
\(441 — 21d — 12d^2 = 165\).

Переносим все в левую часть:
\(-12d^2 — 21d + 276 = 0\).

Домножим на \(-1\):
\(12d^2 + 21d — 276 = 0\).

Поделим на 3:
\(4d^2 + 7d — 92 = 0\).

Вычислим дискриминант:
\(D = 7^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-92) = 49 + 1472 = 1521\).

Корни уравнения:
\(d_1 = \frac{-7 — 39}{8} = \frac{-46}{8} = -5.75\),
\(d_2 = \frac{-7 + 39}{8} = \frac{32}{8} = 4\).

Для \(d_1 = -5.75\):
\(a_1 = 21 — 6 \cdot (-5.75) = 21 + 34.5 = 55.5\).

Для \(d_2 = 4\):
\(a_1 = 21 — 6 \cdot 4 = 21 — 24 = -3\).

Ответ: \(a_1 = 55.5\), \(d = -5.75\) или \(a_1 = -3\), \(d = 4\).