ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 198 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Является ли арифметической прогрессией последовательность \((a_n)\), заданная формулой и-го члена:
1) \(a_n = -8n — 1\); 4) \(a_n = 25 — 0,16n\);
2) \(a_n = 5n^2 — 4n\); 5) \(a_n = \frac{n-3}{n+2}\);
3) \(a_n = -4,4n\); 6) \(a_n = 4 — \frac{3n}{7}\)?
В случае утвердительного ответа укажите первый член и разность прогрессии.

1) \(a_n = -8n — 1\)
\(a_{n+1} = -8(n+1) — 1 = -8n — 8 — 1 = -8n — 9\)
\(d = a_{n+1} — a_n = (-8n — 9) — (-8n — 1) = -8\)
\(a_1 = -8 \cdot 1 — 1 = -9\)
Ответ: является; \(a_1 = -9\); \(d = -8\).

2) \(a_n = 5n^2 — 4n\)
\(a_{n+1} = 5(n+1)^2 — 4(n+1) = 5(n^2 + 2n + 1) — 4n — 4 =\)
\(= 5n^2 + 10n + 5 — 4n — 4 = 5n^2 + 6n + 1\)
\(d = a_{n+1} — a_n = (5n^2 + 6n + 1) — (5n^2 — 4n) = 10n + 1\)
Ответ: не является.

3) \(a_n = -4,4n\)
\(a_{n+1} = -4,4(n+1) = -4,4n — 4,4\)
\(d = a_{n+1} — a_n = (-4,4n — 4,4) — (-4,4n) = -4,4\)
\(a_1 = -4,4 \cdot 1 = -4,4\)
Ответ: является; \(a_1 = -4,4\); \(d = -4,4\).

4) \(a_n = 25 — 0,16n\)
\(a_{n+1} = 25 — 0,16(n+1) = 25 — 0,16n — 0,16 = 24,84 — 0,16n\)
\(d = a_{n+1} — a_n = (24,84 — 0,16n) — (25 — 0,16n) = -0,16\)
\(a_1 = 25 — 0,16 \cdot 1 = 24,84\)
Ответ: является; \(a_1 = 24,84\); \(d = -0,16\).

5) \(a_n = \frac{n-3}{n+2}\)
\(a_{n+1} = \frac{(n+1)-3}{(n+1)+2} = \frac{n-2}{n+3}\)
\(d = a_{n+1} — a_n = \frac{n-2}{n+3} — \frac{n-3}{n+2} = \frac{(n-2)(n+2) — (n-3)(n+3)}{(n+3)(n+2)} = \frac{n^2 — 4 — (n^2 — 9)}{n^2 + 5n + 6} =\)
\(= \frac{5}{n^2 + 5n + 6}\)
Ответ: не является.

6) \(a_n = 4 — \frac{3n}{6} = 4 — \frac{3n}{6}\)
\(a_{n+1} = 4 — \frac{3(n+1)}{6} = 4 — \frac{3n + 3}{6} = 4 — \frac{3n}{6} — \frac{3}{6} = a_n — \frac{1}{2}\)
\(d = a_{n+1} — a_n = -\frac{1}{2}\)
\(a_1 = 4 — \frac{3 \cdot 1}{6} = 4 — \frac{3}{6} = \frac{24}{6} — \frac{3}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3,5\)
Ответ: является; \(a_1 = \frac{7}{2}\); \(d = -\frac{1}{2}\).

1) Последовательность задана формулой \(a_n = -8n — 1\). Найдем \(a_{n+1}\):
\(a_{n+1} = -8(n+1) — 1 = -8n — 8 — 1 = -8n — 9\).
Вычислим разность прогрессии:
\(d = a_{n+1} — a_n = (-8n — 9) — (-8n — 1) = -8\).
Найдем первый член:
\(a_1 = -8 \cdot 1 — 1 = -9\).
Ответ: является; \(a_1 = -9\); \(d = -8\).

2) Последовательность задана формулой \(a_n = 5n^2 — 4n\). Найдем \(a_{n+1}\):
\(a_{n+1} = 5(n+1)^2 — 4(n+1) = 5(n^2 + 2n + 1) — 4n — 4 = 5n^2 + 10n+\)
\( + 5 — 4n — 4 = 5n^2 + 6n + 1\).
Вычислим разность:
\(d = a_{n+1} — a_n = (5n^2 + 6n + 1) — (5n^2 — 4n) = 10n + 1\).
Разность зависит от \(n\), значит последовательность не арифметическая.
Ответ: не является.

3) Последовательность задана формулой \(a_n = -4,4n\). Найдем \(a_{n+1}\):
\(a_{n+1} = -4,4(n+1) = -4,4n — 4,4\).
Вычислим разность прогрессии:
\(d = a_{n+1} — a_n = (-4,4n — 4,4) — (-4,4n) = -4,4\).
Найдем первый член:
\(a_1 = -4,4 \cdot 1 = -4,4\).
Ответ: является; \(a_1 = -4,4\); \(d = -4,4\).

4) Последовательность задана формулой \(a_n = 25 — 0,16n\). Найдем \(a_{n+1}\):
\(a_{n+1} = 25 — 0,16(n+1) = 25 — 0,16n — 0,16 = 24,84 — 0,16n\).
Вычислим разность:
\(d = a_{n+1} — a_n = (24,84 — 0,16n) — (25 — 0,16n) = -0,16\).
Найдем первый член:
\(a_1 = 25 — 0,16 \cdot 1 = 24,84\).
Ответ: является; \(a_1 = 24,84\); \(d = -0,16\).

5) Последовательность задана формулой \(a_n = \frac{n-3}{n+2}\). Найдем \(a_{n+1}\):
\(a_{n+1} = \frac{(n+1)-3}{(n+1)+2} = \frac{n-2}{n+3}\).
Вычислим разность:
\(d = a_{n+1} — a_n = \frac{n-2}{n+3} — \frac{n-3}{n+2} = \frac{(n-2)(n+2) — (n-3)(n+3)}{(n+3)(n+2)}\).
Раскроем скобки:
\((n-2)(n+2) = n^2 — 4\),
\((n-3)(n+3) = n^2 — 9\).
Тогда:
\(d = \frac{n^2 — 4 — (n^2 — 9)}{n^2 + 5n + 6} = \frac{5}{n^2 + 5n + 6}\).
Разность зависит от \(n\), значит последовательность не арифметическая.
Ответ: не является.

6) Последовательность задана формулой \(a_n = 4 — \frac{3n}{6}\). Найдем \(a_{n+1}\):
\(a_{n+1} = 4 — \frac{3(n+1)}{6} = 4 — \frac{3n + 3}{6} = 4 — \frac{3n}{6} — \frac{3}{6} = a_n — \frac{1}{2}\).
Вычислим разность:
\(d = a_{n+1} — a_n = -\frac{1}{2}\).
Найдем первый член:
\(a_1 = 4 — \frac{3 \cdot 1}{6} = 4 — \frac{3}{6} = 4 — \frac{1}{2} = \frac{7}{2}\).
Ответ: является; \(a_1 = \frac{7}{2}\); \(d = -\frac{1}{2}\).