Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 199 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Даны две бесконечные арифметические прогрессии. Если к каждому члену одной прогрессии прибавить соответствующий член другой прогрессии, то будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией?
Пусть даны две арифметические прогрессии с членами \(a_n = a_1 + (n-1)d_1\) и \(b_n = b_1 + (n-1)d_2\). Рассмотрим последовательность \(c_n = a_n + b_n\).
Тогда
\(c_n = a_1 + (n-1)d_1 + b_1 + (n-1)d_2 = (a_1 + b_1) + (n-1)(d_1 + d_2)\).
Это арифметическая прогрессия с первым членом \(a_1 + b_1\) и разностью \(d_1 + d_2\).
Ответ: да, полученная последовательность является арифметической прогрессией.
1) Рассмотрим две арифметические прогрессии, обозначим их члены как \( (a_n) \) и \( (b_n) \). Первая прогрессия задаётся первым членом \( a_1 \) и разностью \( d_1 \), вторая — первым членом \( b_1 \) и разностью \( d_2 \). Формула для общего члена арифметической прогрессии имеет вид \( a_n = a_1 + (n-1) d_1 \) для первой и \( b_n = b_1 + (n-1) d_2 \) для второй. Это означает, что каждый следующий член прогрессии получается прибавлением постоянной величины (разности) к предыдущему члену.
2) Теперь рассмотрим новую последовательность \( (c_n) \), где каждый член равен сумме соответствующих членов двух исходных прогрессий: \( c_n = a_n + b_n \). Подставим выражения для \( a_n \) и \( b_n \) в формулу: \( c_n = (a_1 + (n-1) d_1) + (b_1 + (n-1) d_2) \). Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые: \( c_n = (a_1 + b_1) + (n-1)(d_1 + d_2) \). Видно, что \( c_n \) выражается в виде первого члена \( (a_1 + b_1) \) и разности \( (d_1 + d_2) \), умноженной на \( n-1 \).
3) Чтобы убедиться, что \( (c_n) \) является арифметической прогрессией, проверим, что разность между соседними членами постоянна. Вычислим \( c_{n+1} — c_n \):
\( c_{n+1} = (a_1 + b_1) + n (d_1 + d_2) \),
\( c_n = (a_1 + b_1) + (n-1)(d_1 + d_2) \),
следовательно,
\( c_{n+1} — c_n = (a_1 + b_1) + n (d_1 + d_2) — (a_1 + b_1) — (n-1)(d_1 + d_2)=\)
\( = (d_1 + d_2) \).
Поскольку эта разность не зависит от \( n \), она постоянна, значит \( (c_n) \) — арифметическая прогрессия с первым членом \( a_1 + b_1 \) и разностью \( d_1 + d_2 \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.