ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 20 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(\frac{x + 1}{x — 1} > 0\);

2) \(\frac{x — 1}{x — 1} > 0\); 3) \(\frac{x — 1}{x — 1} \geq 0\);

4) \(\frac{x — 2}{x — 3} > 0\);

5) \(\frac{x — 1}{x — 2} \geq 0\);

6) \(\frac{x — 2}{x — 3} \geq 0\);

7) \(\frac{x — 1}{x — 3} > 0\);

8) \(\frac{x + 1}{x — 1} > 4 — 1\).

1) \(\frac{1}{x^2} + 1 > 0 \mid \cdot x^2;\)
\(1 + x^2 > 0;\)
\(x^2 > -1;\)
\(x \in \mathbb{R};\)
Выражение имеет смысл при:
\(x^2 \neq 0;\)
\(x \neq 0;\)
Ответ: \(x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty).\)

2) \(\frac{x-1}{x-1} > 0;\)
\(1 > 0;\)
\(x \in \mathbb{R};\)
Выражение имеет смысл при:
\(x — 1 \neq 0;\)
\(x \neq 1;\)
Ответ: \(x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty).\)

3) \(\frac{x-1}{x-1} \geq 0;\)
\(1 \geq 0;\)
\(x \in \mathbb{R};\)
Выражение имеет смысл при:
\(x — 1 \neq 0;\)
\(x \neq 1;\)
Ответ: \(x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty).\)

4) \(\frac{x-1}{x-1} > \frac{1}{2};\)
\(1 > 0,5;\)
\(x \in \mathbb{R};\)
Выражение имеет смысл при:
\(x — 1 \neq 0;\)
\(x \neq 1;\)
Ответ: \(x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty).\)

5) \(\frac{x-1}{x-1} \leq 1;\)
\(1 \leq 1;\)
\(x \in \mathbb{R};\)
Выражение имеет смысл при:
\(x — 1 \neq 0;\)
\(x \neq 1;\)
Ответ: \(x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty).\)

6) \(\left(\frac{x-2}{x-3}\right)^2 \geq 0;\)
\(x \in \mathbb{R};\)
Выражение имеет смысл при:
\(x — 3 \neq 0;\)
\(x \neq 3;\)
Ответ: \(x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty).\)

7) \(\left(\frac{x-2}{x-3}\right)^2 > 0;\)
\(\frac{x-2}{x-3} \neq 0;\)
\(x — 2 \neq 0;\)
\(x \neq 2;\)
Выражение имеет смысл при:
\(x — 3 \neq 0;\)
\(x \neq 3;\)
Ответ: \(x \in (-\infty; 2) \cup (2; 3) \cup (3; +\infty).\)

8) \(x + \frac{1}{x} > \frac{1}{x} — 1 \mid — \frac{1}{x};\)
\(x > -1;\)
Выражение имеет смысл при:
\(x \neq 0;\)
Ответ: \(x \in (-1; 0) \cup (0; +\infty).\)

1) Рассмотрим неравенство \(\frac{1}{x^2} + 1 > 0\). Для начала умножим обе части неравенства на \(x^2\), при условии, что \(x^2 > 0\), то есть \(x \neq 0\), так как умножение на положительное число сохраняет знак неравенства. Получаем: \(1 + x^2 > 0\). Выражение \(1 + x^2\) всегда положительно для всех действительных чисел \(x\), потому что квадрат числа \(x^2\) неотрицателен, а прибавка единицы делает сумму строго положительной.

Таким образом, исходное неравенство верно для всех \(x\), кроме тех, при которых выражение не имеет смысла, а именно \(x \neq 0\), так как в исходном выражении стоит деление на \(x^2\). Следовательно, область определения — все действительные числа, кроме нуля.

Итоговый ответ: \(x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\). Это множество всех действительных чисел, за исключением нуля, где функция определена и неравенство выполняется.

2) Рассмотрим выражение \(\frac{x-1}{x-1} > 0\). Здесь можно упростить дробь, так как числитель и знаменатель совпадают и не равны нулю одновременно. При \(x \neq 1\) дробь равна 1, а \(1 > 0\) — это верное утверждение.

Однако, выражение не определено при \(x = 1\), так как знаменатель обращается в ноль. Следовательно, область определения — все действительные числа, кроме \(x=1\).

Ответ: \(x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\). Это множество всех действительных чисел, кроме точки \(x=1\), где выражение определено и неравенство истинно.

3) Аналогично предыдущему, рассмотрим \(\frac{x-1}{x-1} \geq 0\). При \(x \neq 1\) значение дроби равно 1, и неравенство \(1 \geq 0\) верно. При \(x=1\) выражение не определено.

Область определения — все \(x\), кроме \(1\), где функция принимает значение 1, удовлетворяющее неравенству.

Ответ: \(x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\).

4) Для неравенства \(\frac{x-1}{x-1} > \frac{1}{2}\) при \(x \neq 1\) дробь равна 1, и \(1 > \frac{1}{2}\) — верно. Значит, неравенство истинно для всех \(x \neq 1\).

Область определения — все действительные числа, кроме \(x=1\), где знаменатель равен нулю.

Ответ: \(x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\).

5) Рассмотрим \(\frac{x-1}{x-1} \leq 1\). При \(x \neq 1\) дробь равна 1, и \(1 \leq 1\) — верно. При \(x=1\) выражение не определено.

Ответ совпадает с предыдущими: \(x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\).

6) Рассмотрим \(\left(\frac{x-2}{x-3}\right)^2 \geq 0\). Квадрат любого действительного числа неотрицателен, значит, неравенство выполняется для всех \(x\), где выражение определено. Выражение не определено при \(x=3\), так как знаменатель равен нулю.

Ответ: \(x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)\).

7) Для \(\left(\frac{x-2}{x-3}\right)^2 > 0\) необходимо, чтобы \(\frac{x-2}{x-3} \neq 0\), то есть \(x-2 \neq 0\), значит, \(x \neq 2\), и \(x \neq 3\), где выражение не определено.

Область определения — все \(x\), кроме 2 и 3, при которых выражение строго положительно.

Ответ: \(x \in (-\infty; 2) \cup (2; 3) \cup (3; +\infty)\).

8) Рассмотрим неравенство \(x + \frac{1}{x} > \frac{1}{x} — 1\). Вычтем \(\frac{1}{x}\) из обеих частей, получим \(x > -1\). Однако выражение имеет смысл только при \(x \neq 0\), так как в исходном выражении есть деление на \(x\).

Итог: \(x > -1\) и \(x \neq 0\), то есть \(x \in (-1; 0) \cup (0; +\infty)\).