ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 200 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каком значении \(m\) значения выражений \(3m\), \(m^2 + 2\) и \(m + 4\) будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Даны члены арифметической прогрессии: \(a_1 = 3m\), \(a_2 = m^2 + 2\), \(a_3 = m + 4\).

По свойству арифметической прогрессии:
\(a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}\), значит
\(m^2 + 2 = \frac{3m + (m + 4)}{2} = \frac{4m + 4}{2} = 2m + 2\).

Приравниваем:
\(m^2 + 2 = 2m + 2\)
\(m^2 — 2m = 0\)
\(m(m — 2) = 0\).

Следовательно, \(m = 0\) или \(m = 2\).

Если \(m = 0\), то:
\(a_1 = 0\), \(a_2 = 2\), \(a_3 = 4\).

Если \(m = 2\), то:
\(a_1 = 6\), \(a_2 = 6\), \(a_3 = 6\).

Ответ:
Для \(m = 0\) прогрессия \(0; 2; 4\),
для \(m = 2\) прогрессия \(6; 6; 6\).

1) Даны выражения: \(3m\); \(m^2 + 2\); \(m + 4\).

2) Предполагается, что это арифметическая прогрессия, тогда:
\(a_1 = 3m\), \(a_2 = m^2 + 2\), \(a_3 = m + 4\).

3) По свойству арифметической прогрессии:
\(a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}\), значит
\(m^2 + 2 = \frac{3m + (m + 4)}{2}\).

4) Упростим правую часть:
\(m^2 + 2 = \frac{4m + 4}{2} = 2m + 2\).

5) Приравняем и упростим уравнение:
\(m^2 + 2 = 2m + 2\)
\(m^2 — 2m = 0\).

6) Вынесем общий множитель:
\(m(m — 2) = 0\).

7) Следовательно, корни уравнения:
\(m_1 = 0\), \(m_2 = 2\).

8) Если \(m = 0\), тогда:
\(a_1 = 3 \cdot 0 = 0\),
\(a_2 = 0^2 + 2 = 2\),
\(a_3 = 0 + 4 = 4\).

9) Если \(m = 2\), тогда:
\(a_1 = 3 \cdot 2 = 6\),
\(a_2 = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6\),
\(a_3 = 2 + 4 = 6\).

10) Ответ:
0; 2; 4, если \(m = 0\);
6; 6; 6, если \(m = 2\).