ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 201 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каком значении \(n\) значения выражений \(n^2\), \(2n + 3\), \(3n + 4\) и \(n^2 + n + 7\) будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Для арифметической прогрессии выполняется условие:

\(2n + 3 = \frac{n^2 + (3n + 4)}{2}\),

откуда

\(2(2n + 3) = n^2 + 3n + 4\),

\(4n + 6 = n^2 + 3n + 4\),

\(n^2 — n — 2 = 0\).

Решая квадратное уравнение:

\(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\),

\(n_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1\), \(n_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2\).

Проверяем для \(n = 2\):

\(3n + 4 = \frac{(2n + 3) + (n^2 + n + 7)}{2}\),

\(3 \cdot 2 + 4 = \frac{(2 \cdot 2 + 3) + (2^2 + 2 + 7)}{2}\),

\(10 = \frac{7 + 13}{2} = 10\).

Значит, \(n = 2\).

Члены прогрессии:

\(a_1 = 2^2 = 4\),

\(a_2 = 2 \cdot 2 + 3 = 7\),

\(a_3 = 3 \cdot 2 + 4 = 10\),

\(a_4 = 2^2 + 2 + 7 = 13\).

1) Дана арифметическая прогрессия:
\(a_1 = n^2\), \(a_2 = 2n + 3\), \(a_3 = 3n + 4\), \(a_4 = n^2 + n + 7\);

2) По свойству арифметической прогрессии:
\(a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}\);
тогда
\(2n + 3 = \frac{n^2 + (3n + 4)}{2}\);
умножаем обе части на 2:
\(2(2n + 3) = n^2 + 3n + 4\);
раскрываем скобки:
\(4n + 6 = n^2 + 3n + 4\);
переносим все в одну сторону:
\(n^2 + 3n + 4 — 4n — 6 = 0\);
упрощаем:
\(n^2 — n — 2 = 0\);
находим дискриминант:
\(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\);
корни уравнения:
\(n_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1\),
\(n_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2\);

3) По свойству арифметической прогрессии:
\(a_3 = \frac{a_2 + a_4}{2}\);
тогда
\(3n + 4 = \frac{(2n + 3) + (n^2 + n + 7)}{2}\);
умножаем обе части на 2:
\(2(3n + 4) = (2n + 3) + (n^2 + n + 7)\);
раскрываем скобки:
\(6n + 8 = 2n + 3 + n^2 + n + 7\);
собираем подобные:
\(6n + 8 = n^2 + 3n + 10\);
переносим все в одну сторону:
\(n^2 + 3n + 10 — 6n — 8 = 0\);
упрощаем:
\(n^2 — 3n + 2 = 0\);
находим дискриминант:
\(D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1\);
корни уравнения:
\(n_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1\),
\(n_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2\);

4) Объединяем корни, подходящее значение:
\(n = 2\);
тогда члены прогрессии:
\(a_1 = 2^2 = 4\);
\(a_2 = 2 \cdot 2 + 3 = 7\);
\(a_3 = 3 \cdot 2 + 4 = 10\);
\(a_4 = 2^2 + 2 + 7 = 13\);

Ответ: 4; 7; 10; 13; \(n = 2\).