Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 205 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии \((a_n)\), если:
1) \(a_1 = 6\), \(a_{13} = 42\); 2) \(a_6 = 45\), \(a_{14} = -43\).
1) Найдём разность прогрессии \(d\):
\(a_{13} = a_1 + 12d\), значит
\(42 = 6 + 12d\),
\(12d = 36\),
\(d = \frac{36}{12} = 3\).
Сумма десяти первых членов:
\(S_{10} = \frac{2a_1 + d(10-1)}{2} \cdot 10 = 5(2 \cdot 6 + 9 \cdot 3) = 5(12 + 27) = 5 \cdot 39 = 195\).
Ответ: 195.
2) Найдём \(a_1\) и \(d\):
\(a_6 = a_1 + 5d = 45\),
\(a_{14} = a_1 + 13d = -43\).
Вычитая уравнения:
\((a_1 + 5d) — (a_1 + 13d) = 45 — (-43)\),
\(5d — 13d = 88\),
\(-8d = 88\),
\(d = -\frac{88}{8} = -11\).
Подставляем \(d\) в первое уравнение:
\(a_1 + 5(-11) = 45\),
\(a_1 — 55 = 45\),
\(a_1 = 100\).
Сумма десяти первых членов:
\(S_{10} = \frac{2a_1 + d(10-1)}{2} \cdot 10 = 5(2 \cdot 100 + 9 \cdot (-11)) = 5(200 — 99) = 5 \cdot 101 = 505\).
Ответ: 505.
1) Дано: \(a_1 = 6\), \(a_{13} = 42\).
Разность прогрессии \(d\) найдём из формулы общего члена арифметической прогрессии:
\(a_{13} = a_1 + d(13 — 1) = a_1 + 12d\).
Подставляем известные значения:
\(42 = 6 + 12d\),
\(12d = 42 — 6 = 36\),
\(d = \frac{36}{12} = 3\).
Сумма десяти первых членов \(S_{10}\) вычисляется по формуле:
\(S_{10} = \frac{2a_1 + d(10 — 1)}{2} \cdot 10 = 5(2a_1 + 9d)\).
Подставляем значения:
\(S_{10} = 5(2 \cdot 6 + 9 \cdot 3) = 5(12 + 27) = 5 \cdot 39 = 195\).
Ответ: 195.
2) Дано: \(a_6 = 45\), \(a_{14} = -43\).
Обозначим первый член прогрессии как \(a_1\), разность как \(d\).
Запишем два уравнения по формуле общего члена:
\(a_6 = a_1 + d(6 — 1) = a_1 + 5d = 45\),
\(a_{14} = a_1 + d(14 — 1) = a_1 + 13d = -43\).
Вычислим разность \(d\), вычтя первое уравнение из второго:
\((a_1 + 13d) — (a_1 + 5d) = -43 — 45\),
\(13d — 5d = -88\),
\(8d = -88\),
\(d = \frac{-88}{8} = -11\).
Подставим \(d\) в первое уравнение для нахождения \(a_1\):
\(a_1 + 5(-11) = 45\),
\(a_1 — 55 = 45\),
\(a_1 = 45 + 55 = 100\).
Сумма десяти первых членов:
\(S_{10} = \frac{2a_1 + d(10 — 1)}{2} \cdot 10 = 5(2a_1 + 9d)\).
Подставляем значения:
\(S_{10} = 5(2 \cdot 100 + 9 \cdot (-11)) = 5(200 — 99) = 5 \cdot 101 = 505\).
Ответ: 505.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.