Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 207 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии \((a_n)\), если \(a_7 + a_{13} = 21\) и \(a_8 + a_{12} — a_{15} = 3\).
Дано: \(a_7 + a_{13} = 21\), \(a_8 + a_{12} — a_{15} = 3\).
Обозначим первый член прогрессии \(a_1\), разность \(d\).
Формулы членов:
\(a_7 = a_1 + 6d\),
\(a_{13} = a_1 + 12d\),
\(a_8 = a_1 + 7d\),
\(a_{12} = a_1 + 11d\),
\(a_{15} = a_1 + 14d\).
Из второго уравнения:
\((a_1 + 7d) + (a_1 + 11d) — (a_1 + 14d) = 3 \Rightarrow a_1 + 4d = 3\).
Из первого уравнения:
\((a_1 + 6d) + (a_1 + 12d) = 21 \Rightarrow 2a_1 + 18d = 21\).
Подставим \(a_1 = 3 — 4d\):
\(2(3 — 4d) + 18d = 21 \Rightarrow 6 — 8d + 18d = 21 \Rightarrow 10d = 15 \Rightarrow d = \frac{15}{10} = 1.5\).
Тогда:
\(a_1 = 3 — 4 \cdot 1.5 = 3 — 6 = -3\).
Сумма 20 первых членов:
\(S_{20} = \frac{20}{2} (2a_1 + (20 — 1)d) = 10 (2(-3) + 19 \cdot 1.5) = 10(-6 + 28.5) =\)
\(= 10 \cdot 22.5 = 225\).
Ответ: 225.
1) Даны члены арифметической прогрессии: \(a_7 + a_{13} = 21\) и \(a_8 + a_{12} — a_{15} = 3\).
Формулы для данных членов:
\(a_7 = a_1 + d(7 — 1) = a_1 + 6d\);
\(a_{13} = a_1 + d(13 — 1) = a_1 + 12d\);
\(a_8 = a_1 + d(8 — 1) = a_1 + 7d\);
\(a_{12} = a_1 + d(12 — 1) = a_1 + 11d\);
\(a_{15} = a_1 + d(15 — 1) = a_1 + 14d\).
2) Используем второе уравнение:
\(a_8 + a_{12} — a_{15} = 3\),
подставляем формулы:
\((a_1 + 7d) + (a_1 + 11d) — (a_1 + 14d) = 3\),
сокращаем:
\(a_1 + 7d + a_1 + 11d — a_1 — 14d = 3\),
получаем:
\(a_1 + 4d = 3\),
отсюда:
\(a_1 = 3 — 4d\).
3) Используем первое уравнение:
\(a_7 + a_{13} = 21\),
подставляем формулы:
\((a_1 + 6d) + (a_1 + 12d) = 21\),
собираем:
\(2a_1 + 18d = 21\),
подставляем \(a_1 = 3 — 4d\):
\(2(3 — 4d) + 18d = 21\),
раскрываем скобки:
\(6 — 8d + 18d = 21\),
упрощаем:
\(6 + 10d = 21\),
решаем:
\(10d = 15\),
\(d = \frac{15}{10} = 1.5\).
Подставляем обратно для \(a_1\):
\(a_1 = 3 — 4 \cdot 1.5 = 3 — 6 = -3\).
4) Считаем сумму двадцати первых членов:
\(S_{20} = \frac{20}{2} (2a_1 + (20 — 1)d) = 10 (2(-3) + 19 \cdot 1.5) = 10 (-6 + 28.5)=\)
\( = 10 \cdot 22.5 = 225\).
Ответ: 225.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.