ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 212 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму всех натуральных чисел, которые меньше 147 и при делении на 4 дают в остатке 1.

Числа, которые при делении на 4 дают остаток 1, имеют вид \(a_n = 4n + 1\).

Найдем максимальное \(n\), при котором \(a_n < 147\):
\(4n + 1 < 147\)
\(4n < 146\)
\(n < \frac{146}{4} = 36{,}5\)
Значит, \(n = 36\).

Первый член прогрессии:
\(a_1 = 4 \cdot 1 + 1 = 5\).

Последний член:
\(a_{36} = 4 \cdot 36 + 1 = 145\).

Сумма первых 36 членов арифметической прогрессии:
\(S_{36} = \frac{36}{2} (a_1 + a_{36}) = 18 \cdot (5 + 145) = 18 \cdot 150 = 2700\).

Ответ: 2700.

1) Числа, которые при делении на 4 дают в остатке 1, можно записать в виде арифметической прогрессии с формулой общего члена \(a_n = 4n + 1\), где \(n\) — номер члена прогрессии.

2) Найдем номер последнего члена, который меньше числа 147. Для этого решим неравенство:
\(4n + 1 < 147\)
\(4n < 146\)
\(n < \frac{146}{4} = 36{,}5\)
Так как \(n\) — натуральное число, значит \(n = 36\).

3) Найдем первый и тридцать шестой члены прогрессии:
\(a_1 = 4 \cdot 1 + 1 = 5\)
\(a_{36} = 4 \cdot 36 + 1 = 144 + 1 = 145\)

4) Найдем сумму первых тридцати шести членов арифметической прогрессии по формуле:
\(S_{36} = \frac{a_1 + a_{36}}{2} \cdot 36 = 18 \cdot (5 + 145) = 18 \cdot 150 = 2700\)

Ответ: 2700.