Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 218 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если сумма семи первых её членов равна 94,5, а сумма пятнадцати первых членов равна 112,5.
Дано: сумма первых 7 членов \( S_7 = 94{,}5 \), сумма первых 15 членов \( S_{15} = 112{,}5 \).
Формула суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии:
\( S_n = \frac{n}{2} \left( 2a_1 + (n-1)d \right) \).
Подставляем для \( n=7 \):
\( 94{,}5 = \frac{7}{2} (2a_1 + 6d) \Rightarrow 2a_1 + 6d = \frac{94{,}5 \cdot 2}{7} = 27 \).
Подставляем для \( n=15 \):
\( 112{,}5 = \frac{15}{2} (2a_1 + 14d) \Rightarrow 2a_1 + 14d = \frac{112{,}5 \cdot 2}{15} = 15 \).
Решаем систему уравнений:
\[
\begin{cases}
2a_1 + 6d = 27 \\
2a_1 + 14d = 15
\end{cases}
\]
Вычитаем первое из второго:
\( (2a_1 + 14d) — (2a_1 + 6d) = 15 — 27 \Rightarrow 8d = -12 \Rightarrow d = -\frac{12}{8} = -\frac{3}{2} = -1{,}5 \).
Подставляем \( d \) в первое уравнение:
\( 2a_1 + 6(-1{,}5) = 27 \Rightarrow 2a_1 — 9 = 27 \Rightarrow 2a_1 = 36 \Rightarrow a_1 = 18 \).
Ответ: \( a_1 = 18 \), \( d = -1{,}5 \).
1) Дана арифметическая прогрессия, сумма первых семи членов которой равна \( S_7 = 94{,}5 \). Формула суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии:
\( S_n = \frac{n}{2} \left( 2a_1 + (n-1)d \right) \).
Подставляем \( n = 7 \):
\( S_7 = \frac{7}{2} (2a_1 + 6d) = 94{,}5 \).
Умножаем обе части на 2 и делим на 7:
\( 2a_1 + 6d = \frac{94{,}5 \cdot 2}{7} = 27 \).
Выразим \( 2a_1 \):
\( 2a_1 = 27 — 6d \).
Тогда первый член прогрессии равен:
\( a_1 = \frac{27 — 6d}{2} \).
2) Сумма первых пятнадцати членов прогрессии равна \( S_{15} = 112{,}5 \). Подставляем \( n = 15 \) в формулу суммы:
\( S_{15} = \frac{15}{2} (2a_1 + 14d) = 112{,}5 \).
Умножаем обе части на 2 и делим на 15:
\( 2a_1 + 14d = \frac{112{,}5 \cdot 2}{15} = 15 \).
Подставляем выражение для \( 2a_1 \) из пункта 1:
\( (27 — 6d) + 14d = 15 \).
Складываем и упрощаем:
\( 27 + 8d = 15 \).
Вычитаем 27 из обеих частей:
\( 8d = 15 — 27 = -12 \).
Делим обе части на 8:
\( d = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2} = -1{,}5 \).
3) Подставляем найденное значение \( d \) в формулу для \( a_1 \):
\( a_1 = \frac{27 — 6(-1{,}5)}{2} = \frac{27 + 9}{2} = \frac{36}{2} = 18 \).
Ответ: \( a_1 = 18 \), \( d = -1{,}5 \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.