ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 219 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите уравнение:
1) \(5 + 9 + 13 + \dots + (4n + 1) = 324\), где \(n\) — натуральное число;
2) \(4 + 10 + 16 + \dots + x = 310\), где \(x\) — натуральное число.

1) Арифметическая прогрессия с первым членом \(a_1 = 5\), разностью \(d = 4\). Сумма первых \(n\) членов равна \(324\):

\(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n = 324\)

Подставляем:

\(\frac{2 \cdot 5 + 4(n-1)}{2} \cdot n = 324\)

Решая квадратное уравнение, получаем \(n = 12\).

2) Арифметическая прогрессия с первым членом \(a_1 = 4\), разностью \(d = 6\). Сумма первых \(n\) членов равна \(310\):

\(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n = 310\)

Подставляем:

\(\frac{2 \cdot 4 + 6(n-1)}{2} \cdot n = 310\)

Решая квадратное уравнение, получаем \(n = 10\).

Тогда искомый член \(x = a_{10} = a_1 + 9d = 4 + 9 \cdot 6 = 58\).

Ответ: \(n = 12\), \(x = 58\).

1) Решить уравнение \(5 + 9 + 13 + \dots + (4n + 1) = 324\), где \(n \in \mathbb{N}\).

Имеем арифметическую прогрессию, в которой первый член \(a_1 = 5\), второй член \(a_2 = 9\).

Разность прогрессии \(d = a_2 — a_1 = 9 — 5 = 4\).

Сумма первых \(n\) членов данной прогрессии выражается формулой

\(S_n = \frac{2a_1 + d(n — 1)}{2} \cdot n = 324\).

Подставляем известные значения:

\(\frac{2 \cdot 5 + 4(n — 1)}{2} \cdot n = 324\).

Умножаем обе части на 2:

\((10 + 4(n — 1)) \cdot n = 648\).

Раскрываем скобки:

\((10 + 4n — 4) \cdot n = 648\).

Упрощаем:

\((4n + 6) \cdot n = 648\).

Раскрываем произведение:

\(4n^2 + 6n = 648\).

Переносим все в левую часть:

\(4n^2 + 6n — 648 = 0\).

Делим на 2 для упрощения:

\(2n^2 + 3n — 324 = 0\).

Вычисляем дискриминант:

\(D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-324) = 9 + 2592 = 2601\).

Находим корни:

\(n_1 = \frac{-3 + \sqrt{2601}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 51}{4} = 12\),

\(n_2 = \frac{-3 — 51}{4} = -13.5\) (не подходит, так как \(n \in \mathbb{N}\)).

Ответ: \(n = 12\).

2) Решить уравнение \(4 + 10 + 16 + \dots + x = 310\), где \(x \in \mathbb{N}\).

Имеем арифметическую прогрессию, в которой первый член \(a_1 = 4\), второй член \(a_2 = 10\).

Разность прогрессии \(d = a_2 — a_1 = 10 — 4 = 6\).

Сумма первых \(n\) членов данной прогрессии выражается формулой

\(S_n = \frac{2a_1 + d(n — 1)}{2} \cdot n = 310\).

Подставляем значения:

\(\frac{2 \cdot 4 + 6(n — 1)}{2} \cdot n = 310\).

Умножаем обе части на 2:

\((8 + 6(n — 1)) \cdot n = 620\).

Раскрываем скобки:

\((8 + 6n — 6) \cdot n = 620\).

Упрощаем:

\((6n + 2) \cdot n = 620\).

Раскрываем произведение:

\(6n^2 + 2n = 620\).

Переносим все в левую часть:

\(6n^2 + 2n — 620 = 0\).

Делим на 2 для упрощения:

\(3n^2 + n — 310 = 0\).

Вычисляем дискриминант:

\(D = 1^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-310) = 1 + 3720 = 3721\).

Находим корни:

\(n_1 = \frac{-1 + \sqrt{3721}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 61}{6} = 10\),

\(n_2 = \frac{-1 — 61}{6} = -\frac{62}{6} = -10.\overline{3}\) (не подходит).

Искомый член прогрессии \(x\) — десятый член:

\(x = a_{10} = a_1 + 9d = 4 + 9 \cdot 6 = 4 + 54 = 58\).

Ответ: \(x = 58\).