ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 224 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите знаменатель геометрической прогрессии \((b_n)\), если:
1) \(b_1 = 4000\), \(b_4 = 256\); 2) \(b_2 = 6\), \(b_4 = 18\).

1) \(x_7 = \frac{3}{16}, q = \frac{1}{2}\)
\(x_7 = x_1 \cdot q^{6} \Rightarrow \frac{3}{16} = x_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 = x_1 \cdot \frac{1}{64}\)
\(x_1 = \frac{3}{16} \cdot 64 = 12\)

2) \(x_3 = 6, x_6 = 162\)
\(x_3 = x_1 \cdot q^{2}, x_6 = x_1 \cdot q^{5}\)
\(\frac{x_3}{q^{2}} = \frac{x_6}{q^{5}} \Rightarrow \frac{6}{q^{2}} = \frac{162}{q^{5}} \Rightarrow q^{3} = \frac{162}{6} = 27 \Rightarrow q = 3\)
\(x_1 = \frac{x_3}{q^{2}} = \frac{6}{3^{2}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\)

1) Дано: \(x_7 = \frac{3}{16}\), \(q = \frac{1}{2}\).

Формула для \(n\)-го члена геометрической прогрессии: \(x_n = x_1 \cdot q^{n-1}\).

Подставляем \(n=7\):
\(x_7 = x_1 \cdot q^{6}\).

Подставляем известные значения:
\(\frac{3}{16} = x_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6\).

Вычисляем степень:
\(\left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64}\).

Получаем уравнение:
\(\frac{3}{16} = x_1 \cdot \frac{1}{64}\).

Умножаем обе части на 64:
\(x_1 = \frac{3}{16} \cdot 64\).

Выполняем умножение:
\(\frac{3}{16} \cdot 64 = 3 \cdot 4 = 12\).

Ответ: \(x_1 = 12\).

2) Дано: \(x_3 = 6\), \(x_6 = 162\).

Используем формулу \(x_n = x_1 \cdot q^{n-1}\) для двух членов:
\(x_3 = x_1 \cdot q^{2}\),
\(x_6 = x_1 \cdot q^{5}\).

Выразим \(x_1\) из каждого уравнения:
\(x_1 = \frac{x_3}{q^{2}}\),
\(x_1 = \frac{x_6}{q^{5}}\).

Приравниваем правые части:
\(\frac{x_3}{q^{2}} = \frac{x_6}{q^{5}}\).

Умножаем обе части на \(q^{5}\):
\(x_3 \cdot q^{3} = x_6\).

Подставляем числа:
\(6 \cdot q^{3} = 162\).

Делим обе части на 6:
\(q^{3} = \frac{162}{6} = 27\).

Извлекаем кубический корень:
\(q = \sqrt[3]{27} = 3\).

Подставляем \(q\) в выражение для \(x_1\):
\(x_1 = \frac{x_3}{q^{2}} = \frac{6}{3^{2}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\).

Ответ: \(x_1 = \frac{2}{3}\).