ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 225 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Число 192 является членом геометрической прогрессии \(\frac{3}{8}, \frac{1}{2}, \dots\). Найдите номер этого члена.

1. Дана геометрическая прогрессия: \( \frac{3}{8}, \frac{1}{2}, \dots \).

2. Найдем знаменатель прогрессии \(q\) по формуле \( q = \frac{b_2}{b_1} \):
\( q = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{8}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \).

3. Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:
\( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = \frac{3}{8} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{n-1} \).

4. Подставим \( b_n = 192 \) и решим уравнение:
\( 192 = \frac{3}{8} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{n-1} \).

5. Умножим обе части уравнения на \(\frac{8}{3}\):
\( 192 \cdot \frac{8}{3} = \left(\frac{4}{3}\right)^{n-1} \).

6. Вычислим левую часть:
\( 192 \cdot \frac{8}{3} = 192 \cdot \frac{8}{3} = 64 \cdot 8 = 512 \).

7. Получаем уравнение:
\( 512 = \left(\frac{4}{3}\right)^{n-1} \).

8. Представим 512 в виде степени двойки:
\( 512 = 2^{9} \).

9. Возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения:
\( \ln 512 = \ln \left(\frac{4}{3}\right)^{n-1} \Rightarrow \ln 512 = (n-1) \ln \frac{4}{3} \).

10. Выразим \(n\):
\( n-1 = \frac{\ln 512}{\ln \frac{4}{3}} = \frac{9 \ln 2}{\ln 4 — \ln 3} \approx \frac{9 \times 0.693}{1.386 — 1.099} = \frac{6.237}{0.287} \approx 21.73 \),

следовательно, \( n \approx 22.73 \), что не является целым числом.

Ответ: число 192 не является членом данной геометрической прогрессии.

1. Рассмотрим заданную геометрическую прогрессию, первые два члена которой равны \( \frac{3}{8} \) и \( \frac{1}{2} \). Для того чтобы определить общий член прогрессии, необходимо найти знаменатель прогрессии \( q \). Знаменатель — это отношение второго члена прогрессии к первому, то есть \( q = \frac{b_2}{b_1} \). Подставляя значения, получаем \( q = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{8}} \). Чтобы разделить дроби, умножаем первую дробь на обратную второй: \( q = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} \). Выполним умножение числителей и знаменателей: \( q = \frac{1 \cdot 8}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} \). Сократим дробь на 2: \( q = \frac{4}{3} \). Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии равен \( \frac{4}{3} \).

2. Следующим шагом является запись формулы общего члена прогрессии. Формула для \( n \)-го члена геометрической прогрессии выглядит так: \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \), где \( b_1 \) — первый член, а \( q \) — знаменатель. Подставим известные значения: \( b_n = \frac{3}{8} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{n-1} \). Теперь нам нужно проверить, при каком значении \( n \) член прогрессии будет равен 192, то есть решить уравнение \( 192 = \frac{3}{8} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{n-1} \). Чтобы избавиться от дроби \( \frac{3}{8} \), умножим обе части уравнения на её обратное значение, то есть на \( \frac{8}{3} \): \( 192 \cdot \frac{8}{3} = \left(\frac{4}{3}\right)^{n-1} \).

3. Вычислим левую часть: \( 192 \cdot \frac{8}{3} = \frac{192 \cdot 8}{3} \). Сначала умножим 192 на 8: \( 192 \times 8 = 1536 \), затем разделим на 3: \( \frac{1536}{3} = 512 \). Таким образом, уравнение принимает вид \( 512 = \left(\frac{4}{3}\right)^{n-1} \). Теперь нужно определить, при каком \( n \) это равенство истинно. Представим 512 в виде степени двойки: \( 512 = 2^{9} \). Возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения, чтобы упростить решение: \( \ln 512 = \ln \left(\frac{4}{3}\right)^{n-1} \). По свойству логарифмов, степень можно вынести вперед: \( \ln 512 = (n-1) \ln \frac{4}{3} \). Теперь выразим \( n \): \( n-1 = \frac{\ln 512}{\ln \frac{4}{3}} \).

4. Для вычисления числового значения воспользуемся приближёнными значениями натуральных логарифмов: \( \ln 2 \approx 0.693 \), \( \ln 3 \approx 1.099 \), \( \ln 4 = \ln (2^{2}) = 2 \ln 2 \approx 1.386 \). Тогда \( \ln 512 = \ln (2^{9}) = 9 \ln 2 \approx 9 \times 0.693 = 6.237 \). Значение знаменателя: \( \ln \frac{4}{3} = \ln 4 — \ln 3 \approx 1.386 — 1.099 = 0.287 \). Подставим эти значения в формулу для \( n-1 \): \( n-1 = \frac{6.237}{0.287} \approx 21.73 \). Значит, \( n \approx 22.73 \).

5. Поскольку \( n \) должно быть целым числом (номер члена прогрессии — натуральное число), а полученное значение \( n \approx 22.73 \) нецелое, это означает, что число 192 не может быть членом данной геометрической прогрессии. Таким образом, ответ: число 192 не принадлежит данной геометрической прогрессии.