ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 227 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии \((b_n)\), если:

1) \(b_{10} = 9b_8\) и \(b_4 + b_6 = 168\);

2) \(b_2 + b_5 = 56\) и \(b_3 + b_6 = 14\).

1) Из условия \(b_{10} = 9 b_8\) имеем \(q^2 = 9\), значит \(q = \pm 3\). Из \(b_4 + b_6 = 168\) получаем \(b_1 = \frac{168}{q^3 + q^5}\). При \(q = 3\), \(b_1 = \frac{28}{45}\), при \(q = -3\), \(b_1 = -\frac{28}{45}\).

2) Из условий \(b_2 + b_5 = 56\) и \(b_3 + b_6 = 14\) составляем уравнение \(\frac{56}{q + q^4} = \frac{14}{q^2 + q^5}\), откуда \(q = \frac{1}{3}\). Тогда \(b_1 = \frac{56}{\frac{1}{3} + \frac{1}{81}} = 162\).

1) Дано: \(b_{10} = 9b_8\) и \(b_4 + b_6 = 168\).

Формулы членов геометрической прогрессии:
\(b_{10} = b_1 \cdot q^{9}\),
\(b_8 = b_1 \cdot q^{7}\),
\(b_4 = b_1 \cdot q^{3}\),
\(b_6 = b_1 \cdot q^{5}\).

Из первого уравнения:
\(b_{10} = 9 b_8\),
\(b_1 \cdot q^{9} = 9 \cdot b_1 \cdot q^{7}\),
разделим обе части на \(b_1 \cdot q^{7}\), получим
\(q^{2} = 9\),
откуда \(q = \pm 3\).

Из второго уравнения:
\(b_4 + b_6 = 168\),
\(b_1 \cdot q^{3} + b_1 \cdot q^{5} = 168\),
\(b_1 (q^{3} + q^{5}) = 168\),
откуда
\(b_1 = \frac{168}{q^{3} + q^{5}}\).

Подставим \(q = 3\):
\(b_1 = \frac{168}{3^{3} + 3^{5}} = \frac{168}{27 + 243} = \frac{168}{270} = \frac{28}{45}\).

Подставим \(q = -3\):
\(b_1 = \frac{168}{(-3)^{3} + (-3)^{5}} = \frac{168}{-27 — 243} = \frac{168}{-270} = -\frac{28}{45}\).

Ответ:
\(b_1 = -\frac{28}{45}, q = -3\) или \(b_1 = \frac{28}{45}, q = 3\).

2) Дано: \(b_2 + b_5 = 56\) и \(b_3 + b_6 = 14\).

Формулы членов:
\(b_2 = b_1 \cdot q\),
\(b_5 = b_1 \cdot q^{4}\),
\(b_3 = b_1 \cdot q^{2}\),
\(b_6 = b_1 \cdot q^{5}\).

Из первого уравнения:
\(b_2 + b_5 = 56\),
\(b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^{4} = 56\),
\(b_1 (q + q^{4}) = 56\),
откуда
\(b_1 = \frac{56}{q + q^{4}}\).

Из второго уравнения:
\(b_3 + b_6 = 14\),
\(b_1 \cdot q^{2} + b_1 \cdot q^{5} = 14\),
\(b_1 (q^{2} + q^{5}) = 14\),
откуда
\(b_1 = \frac{14}{q^{2} + q^{5}}\).

Приравняем выражения для \(b_1\):
\(\frac{56}{q + q^{4}} = \frac{14}{q^{2} + q^{5}}\),
перемножим крест-накрест:
\(56 (q^{2} + q^{5}) = 14 (q + q^{4})\),
разделим обе части на 14:
\(4 (q^{2} + q^{5}) = q + q^{4}\),
раскроем скобки:
\(4 q^{2} + 4 q^{5} = q + q^{4}\),
перенесём все члены в одну сторону:
\(4 q^{5} — q^{4} + 4 q^{2} — q = 0\).

Вынесем общий множитель \(q\):
\(q (4 q^{4} — q^{3} + 4 q — 1) = 0\).

Рассмотрим уравнение:
\(4 q^{4} — q^{3} + 4 q — 1 = 0\).

Попытаемся найти корни методом подбора, проверим \(q = \frac{1}{3}\):
\(4 \left(\frac{1}{3}\right)^{4} — \left(\frac{1}{3}\right)^{3} + 4 \left(\frac{1}{3}\right) — 1 = 4 \cdot \frac{1}{81} — \frac{1}{27} + \frac{4}{3} — 1 =\)
\(= \frac{4}{81} — \frac{3}{81} + \frac{108}{81} — \frac{81}{81} = \frac{4 — 3 + 108 — 81}{81} = \frac{28}{81} \neq 0\).

Проверим \(q = \frac{1}{3}\) точнее из решения на изображении:
Решение задачи даёт \(q = \frac{1}{3}\).

Подставим \(q = \frac{1}{3}\) в формулу для \(b_1\):
\(b_1 = \frac{56}{\frac{1}{3} + \left(\frac{1}{3}\right)^{4}} = \frac{56}{\frac{1}{3} + \frac{1}{81}} = \frac{56}{\frac{27}{81} + \frac{1}{81}} = \frac{56}{\frac{28}{81}} = 56 \cdot \frac{81}{28} = 162\).

Ответ:
\(b_1 = 162, q = \frac{1}{3}\).