ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 228 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Какие три числа надо вставить между числами 16 и 81, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

Даны числа \(16\) и \(81\), нужно вставить три числа так, чтобы образовалась геометрическая прогрессия из пяти членов: \(b_1 = 16\), \(b_5 = 81\).

Обозначим знаменатель прогрессии через \(q\). Тогда

\(b_5 = b_1 \cdot q^4\),

то есть

\(81 = 16 \cdot q^4\),

откуда

\(q^4 = \frac{81}{16} = \left(\frac{3}{2}\right)^4\),

значит

\(q = \pm \frac{3}{2}\).

Для положительного \(q = \frac{3}{2}\) члены прогрессии:

\(b_2 = 16 \cdot \frac{3}{2} = 24\),

\(b_3 = 24 \cdot \frac{3}{2} = 36\),

\(b_4 = 36 \cdot \frac{3}{2} = 54\).

Для отрицательного \(q = -\frac{3}{2}\) члены прогрессии:

\(b_2 = 16 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -24\),

\(b_3 = -24 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = 36\),

\(b_4 = 36 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -54\).

Ответ: \(16; 24; 36; 54; 81\) или \(16; -24; 36; -54; 81\).

1) Рассмотрим геометрическую прогрессию, в которой первый член равен \(b_1 = 16\), а пятый член равен \(b_5 = 81\). Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянный множитель, называемый знаменателем прогрессии \(q\). Формула для любого члена прогрессии с номером \(n\) записывается как \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\). В нашем случае для пятого члена имеем: \(b_5 = b_1 \cdot q^{4}\). Подставляя известные значения, получаем уравнение \(81 = 16 \cdot q^{4}\). Чтобы найти \(q\), разделим обе части уравнения на 16 и получим \(q^{4} = \frac{81}{16}\).

2) Далее заметим, что числитель и знаменатель дроби являются степенями целых чисел: \(81 = 3^{4}\) и \(16 = 2^{4}\). Значит, дробь можно представить как \(\left(\frac{3}{2}\right)^{4}\). Следовательно, уравнение принимает вид \(q^{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^{4}\). Из этого следует, что \(q = \pm \frac{3}{2}\), поскольку возведение в четвёртую степень убирает знак минус. Таким образом, у нас есть два варианта для знаменателя прогрессии: положительный и отрицательный.

3) Рассмотрим оба варианта подробнее. Если \(q = \frac{3}{2}\), то каждый следующий член прогрессии будет положительным и увеличиваться по формуле:
\(b_2 = 16 \cdot \frac{3}{2} = 24\),
\(b_3 = 24 \cdot \frac{3}{2} = 36\),
\(b_4 = 36 \cdot \frac{3}{2} = 54\),
\(b_5 = 54 \cdot \frac{3}{2} = 81\).
Если же \(q = -\frac{3}{2}\), то знаки членов будут чередоваться:
\(b_2 = 16 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -24\),
\(b_3 = -24 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = 36\),
\(b_4 = 36 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -54\),
\(b_5 = -54 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = 81\).
Таким образом, последовательность либо возрастает положительно, либо чередуется по знаку, но в обоих случаях удовлетворяет условию геометрической прогрессии с заданными первым и пятым членами.

Ответ:
\(16; 24; 36; 54; 81\) или \(16; -24; 36; -54; 81\).