ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 230 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 90. Если из этих чисел вычесть соответственно 7, 18 и 2, то образуется геометрическая прогрессия. Найдите данные числа.

Пусть три числа арифметической прогрессии: \(a_1\), \(a_2 = a_1 + d\), \(a_3 = a_1 + 2d\).

Сумма равна 90: \(a_1 + a_2 + a_3 = 90\), значит
\(3a_1 + 3d = 90 \Rightarrow a_1 + d = 30 \Rightarrow a_1 = 30 — d\).

Вычитаем из них 7, 18 и 2 соответственно:
\(b_1 = a_1 — 7 = 23 — d\),
\(b_2 = a_2 — 18 = 12\),
\(b_3 = a_3 — 2 = 28 + d\).

Эти \(b_1, b_2, b_3\) образуют геометрическую прогрессию, значит
\(b_2^2 = b_1 \cdot b_3\),
\(12^2 = (23 — d)(28 + d)\),
\(144 = 644 + 23d — 28d — d^2\),
\(d^2 + 5d — 500 = 0\).

Дискриминант \(D = 5^2 + 4 \cdot 500 = 2025\),
\(d_1 = \frac{-5 — 45}{2} = -25\),
\(d_2 = \frac{-5 + 45}{2} = 20\).

Если \(d = -25\), то
\(a_1 = 30 — (-25) = 55\),
\(a_2 = 30\),
\(a_3 = 30 + (-25) = 5\).

Если \(d = 20\), то
\(a_1 = 30 — 20 = 10\),
\(a_2 = 30\),
\(a_3 = 30 + 20 = 50\).

Ответ: \(55, 30, 5\) или \(10, 30, 50\).

1) Рассмотрим три числа, которые образуют арифметическую прогрессию. Обозначим первое число как \(a_1\), второе — \(a_2\), а третье — \(a_3\). По определению арифметической прогрессии разность между соседними членами постоянна и равна \(d\). Значит, можно записать: \(a_2 = a_1 + d\), а \(a_3 = a_1 + 2d\). Таким образом, все три числа выражаются через \(a_1\) и \(d\).

2) Из условия задачи известно, что сумма этих трёх чисел равна 90. Запишем это уравнение: \(a_1 + a_2 + a_3 = 90\). Подставим выражения для \(a_2\) и \(a_3\): \(a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 90\). Это уравнение упрощается до \(3a_1 + 3d = 90\). Разделив обе части на 3, получаем \(a_1 + d = 30\). Отсюда выражаем \(a_1\): \(a_1 = 30 — d\). Таким образом, первое число зависит от разности \(d\), а второе число \(a_2\) всегда равно 30, так как \(a_2 = a_1 + d = 30\). Третье число \(a_3\) будет равно \(30 + d\).

3) Теперь рассмотрим изменение этих трёх чисел. Из первого числа вычитаем 7, из второго — 18, из третьего — 2. Обозначим полученные числа как \(b_1 = a_1 — 7\), \(b_2 = a_2 — 18\), \(b_3 = a_3 — 2\). Подставим выражения для \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\): \(b_1 = (30 — d) — 7 = 23 — d\), \(b_2 = 30 — 18 = 12\), \(b_3 = (30 + d) — 2 = 28 + d\).

4) Полученные числа \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\) образуют геометрическую прогрессию. Для геометрической прогрессии выполняется условие, что квадрат среднего члена равен произведению первого и третьего: \(b_2^2 = b_1 \cdot b_3\). Подставим значения: \(12^2 = (23 — d)(28 + d)\). Раскроем скобки справа: \(144 = 644 + 23d — 28d — d^2\), что упрощается до \(144 = 644 — 5d — d^2\). Переносим все в одну сторону, получаем квадратное уравнение: \(d^2 + 5d — 500 = 0\).

5) Решим квадратное уравнение \(d^2 + 5d — 500 = 0\). Вычислим дискриминант: \(D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-500) = 25 + 2000 = 2025\). Извлекаем корень: \(\sqrt{2025} = 45\). Корни уравнения: \(d_1 = \frac{-5 — 45}{2} = -25\), \(d_2 = \frac{-5 + 45}{2} = 20\).

6) Подставим корни в выражение для чисел арифметической прогрессии. При \(d = -25\): \(a_1 = 30 — (-25) = 55\), \(a_2 = 30\), \(a_3 = 30 + (-25) = 5\). При \(d = 20\): \(a_1 = 30 — 20 = 10\), \(a_2 = 30\), \(a_3 = 30 + 20 = 50\).

Ответ: 55, 30, 5 или 10, 30, 50.