ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 233 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии \((b_n)\) со знаменателем \(q\), если:
1) \(b_1 = 125\), \(q = 2,5\);
2) \(b_1 = \sqrt{5}\), \(b_3 = 25\sqrt{5}\), \(q < 0\); 3) \(b_1 = 10\), \(b_4 = 10000\).

1)
Дано:
\(b_4 = 125\), \(q = 2,5\).
Найдем первый член:
\(b_4 = b_1 \cdot q^{3}\),
\(125 = b_1 \cdot (2.5)^3 = b_1 \cdot 15.625\),
\(b_1 = 125 / 15.625 = 8\).

Сумма четырёх первых членов:
\(S_4 = b_1 \cdot \frac{q^4 — 1}{q — 1} = 8 \cdot \frac{(2.5)^4 — 1}{2.5 — 1} = 8 \cdot \frac{39.0625 — 1}{1.5} = 8 \cdot \frac{38.0625}{1.5} = 8 \cdot 25.375 = 203\).

Ответ: \(203\).

2)
Дано:
\(b_1 = \sqrt{5}\), \(b_3 = 25 \sqrt{5}\), \(q < 0\).
Найдем знаменатель:
\(b_3 = b_1 \cdot q^{2}\),
\(25 \sqrt{5} = \sqrt{5} \cdot q^{2}\),
\(q^{2} = 25\),
\(q = -5\) (так как \(q < 0\)).

Сумма четырёх первых членов:
\(S_4 = b_1 \cdot \frac{q^{4} — 1}{q — 1} = \sqrt{5} \cdot \frac{(-5)^4 — 1}{-5 — 1} = \sqrt{5} \cdot \frac{625 — 1}{-6} = \sqrt{5} \cdot \frac{624}{-6} =\)
\(= \sqrt{5} \cdot (-104) = -104 \sqrt{5}\).

Ответ: \(-104 \sqrt{5}\).

3)
Дано:
\(b_4 = 10\), \(b_7 = 10000\).
Найдем \(q\) и \(b_1\):
\(b_4 = b_1 \cdot q^{3}\),
\(b_7 = b_1 \cdot q^{6}\).

Отношение:
\(\frac{b_7}{b_4} = \frac{b_1 q^{6}}{b_1 q^{3}} = q^{3}\),
\(\frac{10000}{10} = 1000 = q^{3}\),
\(q = \sqrt[3]{1000} = 10\).

Найдем \(b_1\):
\(b_4 = b_1 \cdot 10^{3} = b_1 \cdot 1000 = 10\),
\(b_1 = \frac{10}{1000} = 0.01\).

Сумма четырёх первых членов:
\(S_4 = b_1 \cdot \frac{q^{4} — 1}{q — 1} = 0.01 \cdot \frac{10^{4} — 1}{10 — 1} = 0.01 \cdot \frac{10000 — 1}{9} = 0.01 \cdot \frac{9999}{9} =\)
\(= 0.01 \cdot 1111 = 11.11\).

Ответ: \(11.11\).

1)
Дано: \(b_4 = 125\), \(q = 2,5\).

Первый член прогрессии найдем из формулы:
\(b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^{3}\).
Подставляем значения:
\(125 = b_1 \cdot (2,5)^3\).
Вычисляем степень:
\((2,5)^3 = 2,5 \cdot 2,5 \cdot 2,5 = 15,625\).
Тогда:
\(125 = b_1 \cdot 15,625\).
Находим \(b_1\):
\(b_1 = \frac{125}{15,625} = 8\).

Сумма четырёх первых членов геометрической прогрессии равна:
\(S_4 = b_1 \cdot \frac{q^{4} — 1}{q — 1}\).
Подставляем значения:
\(S_4 = 8 \cdot \frac{(2,5)^4 — 1}{2,5 — 1}\).
Вычисляем степень:
\((2,5)^4 = 2,5 \cdot 2,5 \cdot 2,5 \cdot 2,5 = 39,0625\).
Тогда:
\(S_4 = 8 \cdot \frac{39,0625 — 1}{1,5} = 8 \cdot \frac{38,0625}{1,5}\).
Вычисляем дробь:
\(\frac{38,0625}{1,5} = 25,375\).
Итог:
\(S_4 = 8 \cdot 25,375 = 203\).

Ответ: \(203\).

2)
Дано: \(b_1 = \sqrt{5}\), \(b_3 = 25 \sqrt{5}\), \(q < 0\).

Найдем знаменатель прогрессии \(q\). Известно, что:
\(b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^{2}\).
Подставляем значения:
\(25 \sqrt{5} = \sqrt{5} \cdot q^{2}\).
Делим обе части на \(\sqrt{5}\):
\(25 = q^{2}\).
Извлекаем корень:
\(q = -5\) (так как \(q < 0\)).

Сумма четырёх первых членов:
\(S_4 = b_1 \cdot \frac{q^{4} — 1}{q — 1} = \sqrt{5} \cdot \frac{(-5)^4 — 1}{-5 — 1}\).
Вычисляем степени и выражения:
\((-5)^4 = 625\),
Тогда:
\(S_4 = \sqrt{5} \cdot \frac{625 — 1}{-6} = \sqrt{5} \cdot \frac{624}{-6} = \sqrt{5} \cdot (-104) = -104 \sqrt{5}\).

Ответ: \(-104 \sqrt{5}\).

3) Дано: \(b_4 = 10\), \(b_7 = 10000\).

Найдем первый член \(b_1\) и знаменатель \(q\).
Из формул:
\(b_4 = b_1 \cdot q^{3}\),
\(b_7 = b_1 \cdot q^{6}\).

Отношение:
\(\frac{b_7}{b_4} = \frac{b_1 q^{6}}{b_1 q^{3}} = q^{3}\).
Подставляем значения:
\(\frac{10000}{10} = 1000 = q^{3}\).
Извлекаем корень:
\(q = \sqrt[3]{1000} = 10\).

Находим \(b_1\):
\(b_4 = b_1 \cdot 10^{3} = b_1 \cdot 1000 = 10\),
\(b_1 = \frac{10}{1000} = 0,01\).

Сумма четырёх первых членов:
\(S_4 = b_1 \cdot \frac{q^{4} — 1}{q — 1} = 0,01 \cdot \frac{10^{4} — 1}{10 — 1}\).
Вычисляем степени и выражения:
\(10^{4} = 10000\),
\(S_4 = 0,01 \cdot \frac{10000 — 1}{9} = 0,01 \cdot \frac{9999}{9} = 0,01 \cdot 1111 = 11,11\).

Ответ: \(11,11\).