ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 1 Номер 235 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите первый член геометрической прогрессии, если её знаменатель равен \(\frac{1}{5}\), а сумма четырёх первых членов равна 156.

Дана геометрическая прогрессия с \(q = \frac{1}{5}\) и суммой четырёх первых членов \(S_4 = 156\).

Формула суммы первых четырёх членов:
\(S_4 = b_1 \cdot \frac{q^4 — 1}{q — 1} = 156\).

Подставляем \(q = \frac{1}{5}\):
\(b_1 \cdot \frac{\left(\frac{1}{5}\right)^4 — 1}{\frac{1}{5} — 1} = 156\).

Вычисляем числитель:
\(\left(\frac{1}{5}\right)^4 = \frac{1}{625}\),
значит числитель: \(\frac{1}{625} — 1 = -\frac{624}{625}\).

Вычисляем знаменатель:
\(\frac{1}{5} — 1 = -\frac{4}{5}\).

Подставляем:
\(b_1 \cdot \frac{-\frac{624}{625}}{-\frac{4}{5}} = 156\).

Деление дробей:
\(\frac{-\frac{624}{625}}{-\frac{4}{5}} = \frac{624}{625} \cdot \frac{5}{4} = \frac{624 \cdot 5}{625 \cdot 4} = \frac{3120}{2500} = \frac{156}{125}\).

Итого:
\(b_1 \cdot \frac{156}{125} = 156\).

Отсюда:
\(b_1 = 156 \cdot \frac{125}{156} = 125\).

Ответ: \(125\).

1. Рассмотрим геометрическую прогрессию с первым членом \( b_1 \) и знаменателем \( q = \frac{1}{5} \). Дано, что сумма первых четырёх членов этой прогрессии равна \( S_4 = 156 \). Формула суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии имеет вид \( S_n = b_1 \cdot \frac{q^{n} — 1}{q — 1} \). В нашем случае \( n = 4 \), следовательно, сумма первых четырёх членов равна \( S_4 = b_1 \cdot \frac{q^{4} — 1}{q — 1} \).

2. Подставим в формулу известные значения: знаменатель прогрессии \( q = \frac{1}{5} \), сумма \( S_4 = 156 \), тогда уравнение примет вид \( 156 = b_1 \cdot \frac{\left(\frac{1}{5}\right)^{4} — 1}{\frac{1}{5} — 1} \). Чтобы упростить выражение, вычислим сначала степень \( \left(\frac{1}{5}\right)^{4} \). Возведение дроби в степень означает возведение числителя и знаменателя в эту степень отдельно, поэтому \( \left(\frac{1}{5}\right)^{4} = \frac{1^{4}}{5^{4}} = \frac{1}{625} \).

3. Теперь вычислим числитель дроби в формуле суммы: \( \frac{1}{625} — 1 \). Приведём к общему знаменателю: \( 1 = \frac{625}{625} \), значит \( \frac{1}{625} — \frac{625}{625} = -\frac{624}{625} \). Аналогично вычислим знаменатель дроби: \( \frac{1}{5} — 1 = \frac{1}{5} — \frac{5}{5} = -\frac{4}{5} \). Таким образом, формула суммы принимает вид \( 156 = b_1 \cdot \frac{-\frac{624}{625}}{-\frac{4}{5}} \).

4. Деление одной дроби на другую равно умножению первой дроби на обратную вторую, поэтому преобразуем выражение: \( \frac{-\frac{624}{625}}{-\frac{4}{5}} = \frac{624}{625} \cdot \frac{5}{4} \). Перемножим числители и знаменатели: \( \frac{624 \cdot 5}{625 \cdot 4} = \frac{3120}{2500} \). Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 20: \( \frac{3120 \div 20}{2500 \div 20} = \frac{156}{125} \).

5. Подставим упрощённое значение обратно в уравнение: \( 156 = b_1 \cdot \frac{156}{125} \). Чтобы найти \( b_1 \), разделим обе части уравнения на \( \frac{156}{125} \), что эквивалентно умножению на обратную дробь: \( b_1 = 156 \cdot \frac{125}{156} \). Сократим 156 в числителе и знаменателе, получаем \( b_1 = 125 \). Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 125.